Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:
 |
Степень суммы |
|
Степень разности |
|
Квадрат многочлена |
|
Куб трехчлена |
|
Сумма нечетных степеней |
|
Разность нечетных степеней |
|
Разность четных степеней |
Степень суммы
Группа формул «Степень суммы» составляет Таблицу 1. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:
| (x + y) 2 = (x + y)(x + y) , (x + y) 3 = (x + y) 2 (x + y) , (x + y) 4 = (x + y) 3 (x + y) |
Группу формул «Степень суммы» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.
Таблица 1. – Степень суммы
| Название формулы | Формула |
| Квадрат (вторая степень) суммы |
(x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 |
| Куб (третья степень) суммы | (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 |
| Четвертая степень суммы | (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 |
| Пятая степень суммы | (x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5 |
| Шестая степень суммы | (x + y) 6 = x 6 + 6x 5 y + 15x 4 y 2 + 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 + 6xy 5 + y 6 |
| … | … |
Квадрат (вторая степень) суммы
Куб (третья степень) суммы
Четвертая степень суммы
Пятая степень суммы
Шестая степень суммы
Общая формула для вычисления суммы
с произвольным натуральным значением n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.
Степень разности
Если в формулах из Таблицы 1 заменить y на – y , то мы получим группу формул «Степень разности» (Таблица 2.):
Таблица 2. – Степень разности
| Название формулы | Формула |
| Квадрат (вторая степень) разности |
(x – y) 2 = x 2 – 2xy + y 2 |
| Куб (третья степень) разности | (x – y) 3 = x 3 – 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 |
| Четвертая степень разности | (x – y) 4 = x 4 – 4x 3 y + 6x 2 y 2 – 4xy 3 + y 4 |
| Пятая степень разности | (x – y) 5 = x 5 – 5x 4 y + 10x 3 y 2 – 10x 2 y 3 + 5xy 4 – y 5 |
| Шестая степень разности | (x – y) 6 = x 6 – 6x 5 y + 15x 4 y 2 – 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 – 6xy 5 + y 6 |
| … | … |
Квадрат (вторая степень) разности
Куб (третья степень) разности
Четвертая степень разности
Пятая степень разности
Шестая степень разности
Квадрат многочлена
Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена» :
Словами эту формулу можно выразить так: — «Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов плюс сумма всевозможных удвоенных произведений его членов».
Куб трехчлена
Следующая формула называется «Куб трехчлена» :
Другие формулы сокращенного умножения приведены в разделе «Формулы сокращенного умножения: сумма степеней, разность степеней» нашего справочника.
Формулы сокращенного умножения позволяют преобразовать математическое выражение к более простому для решения виду. Формулы применяются для раскрытия скобок степеней, понижения степени суммы и разности и для других математических упрощений.
В приведенных ниже формулах, вместо символов «a» и «b» могут применяться числовые значения, переменные или любые математические выражения и формулы.
Формула суммы пятой степени
Примеры суммы пятой степени
1. 2 5 + 3 5 = ( 2 + 3) • ( 2 3 • 3 + 2 2 • 3 2 — 2 • 3 3 + 3 4 ) =
5 • ( 16 — 8 • 3 + 4 • 9 — 2 • 27 + 81) =
5 • (16 — 24 + 36 — 54 + 81) =
5 • 55 = 275 ;
a = 2 5 ;
b = 3 5 ;
2. 7 5 + 5 5 = ( 7 + 5) • ( 7 4 — 7 3 • 5 + 7 2 • 5 2 — 7 • 5 3 + 5 4 ) =
12 • ( 2 401 — 343 • 5 + 49 • 25 — 7 • 125 + 625) =
12 • (2 401 — 1 715 + 1 225 — 875 + 625) =
12 • 1 661 = 19 932 ;
a = 7 5 ;
b = 5 5 ;
3. 3 5 + 3 5 = ( 3 + 5) • ( 3 4 — 3 3 • 5 + 3 2 • 5 2 — 3 • 5 3 + 5 4 ) =
8 • ( 81 — 27 • 5 + 9 • 25 — 3 • 125 + 625) =
8 • (81 — 135 + 225 — 375 + 625) =
8 • 421 = 3 368 ;
a = 3 5 ;
b = 5 5 ;
