Найдите координаты центроида тетраэдра

Найдите координаты центроида тетраэдра

В математике и физике , то медианы или геометрический центр из плоской фигуры является средней арифметическим положением всех точек на рисунке. Неформально, это точка , в которой вырез формы может быть идеально сбалансирован на кончике пальца.

Определение распространяется на любой объект в п — мерное пространство : его центроида среднего положения всех точек во всех координатных направлениях.

В то время как в геометрии слово барицентр является синонимом центроида , в астрофизике и астрономии , барицентр является центром масс двух или более тел , которые вращаются вокруг друг друга. В физике , центр масс представляет собой среднее арифметическое из всех точек , взвешенных с помощью локальной плотности или удельного веса . Если физический объект имеет однородную плотность, его центр масс совпадает с центром тяжести его формы.

В географии , центроид радиальной проекции области поверхности Земли до уровня моря в регионе географический центр .

содержание

история

Термин «центроид» является недавней чеканки (1814). Он используется в качестве замены старых терминов « центр тяжести » и « центр масс », когда чисто геометрические аспекты этой точки должны быть подчеркнуты. Термин свойственно английскому языку. Французский использование «Центр — де — Gravite» в большинстве случаев, и другие используют термины аналогичного значения.

Центр тяжести, как указывает название, это понятие, возникшее в механике, скорее всего, в связи с деятельностью на строительство. Когда, где и кем он был изобретен не известно, так как это понятие, которое, вероятно, происходит со многими людьми в индивидуальном порядке с небольшими различиями.

Хотя возможно Евклид был все еще активен в Александрии в детстве Архимед (287-212 до н.э.), он уверен , что , когда Архимед посетил Александрию , Евклид больше не существует. Таким образом , Архимед не мог узнать теорему о том , что медианы треугольника пересекаются в точке-центре тяжести треугольника непосредственно от Евклида, так как это предложение не находится в Евклида . Первое явное утверждение этого предложения обусловлено Герона Александрийского (возможно, первый век н.э.) и происходит в его механике. Можно добавить, мимоходом, что предложение не стало распространенным в учебниках по планиметрии до девятнадцатого века.

В то время как Архимед не утверждает , что предложение явно, он делает косвенные ссылки на него, предполагая , что он был знаком с ним. Тем не менее, Монтюкли (1725-1799), автор первой истории математики (1758), категорически заявляет (т. I, стр. 463) , что центр тяжести твердых тел является предметом Архимед не трогал.

Читайте также:  Сколько глав в игре дожить до рассвета

В 1802 году Боссю (1730-1813) опубликовал два тома Essai Aur PhisMire Женераль де Mathématiques. Эта книга была высоко оценена современниками, судя по тому , что в течение двух лет после его опубликования она была уже доступна в переводе на итальянском языке (1802-03), английский (1803) и немецкого (1804). Bossut кредитует Архимед с обретя центроид плоских фигур, но не имеет ничего , чтобы сказать о твердых телах.

свойства

Геометрический центроид выпуклого объекта всегда находится в объекте. Невыпуклая объект может иметь центр тяжести , который находится за пределами самой фигуры. Центроид кольца или чаш , например, находится в центральной части пустоты объекта.

Если центр тяжести определен, он является неподвижной точкой всех движений в своей группе симметрии . В частности, геометрический центр тяжести объекта лежит в пересечении всех его гиперплоскостях от симметрии . Центроид многих фигур ( правильный многоугольник , правильный многогранник , цилиндрическая , прямоугольник , ромб , круг , сферы , эллипсы , эллипсоид , суперэллипс , суперэллипсоид и т.д.) может быть определен только по этому принципу.

В частности, центроид параллелограмма является местом встречи двух диагоналей . Это не верно для других четырехугольников .

По той же причине, центроид объекта с трансляционной симметрией не определено (или лежит вне вмещающего пространства), потому что перевод не имеет неподвижную точки.

Примеры

Центроид треугольника является пересечением трех медиан треугольника (каждый из срединного соединения вершины с серединой противоположной стороны).

Для других свойств центроиды треугольника, см ниже .

Расположение

Метод Отвес

Центроид равномерно плотной плоской пластинки , например , как на рисунке (а) ниже, может быть определено экспериментально с помощью отвес и штифт , чтобы найти соотнесен центр масс тонкого тела однородной плотности , имеющей ту же самую форму. Тело удерживается штифтом, вставляется в точке, от предполагаемого центроида таким образом , что он может свободно вращаться вокруг штифта; отвеса затем упала с выводами (рисунок б). Положение отвеса прослеживаются на поверхности, и процедура повторяются с штифтом , вставленным в любой другой точке (или несколько точек) от центроида объекта. Единственная точка пересечения этих линий будет центроид (рисунок с). При условии , что тело имеет однородную плотность, все линии сделаны таким образом , будет включать в себя центроид, и все линии пересекутся в одном месте.

Читайте также:  Выберите верное утверждение авторские посты размещаемые

(А) (Б) (С)

Этот метод может быть расширен (в теории) с вогнутой формы, где центроид может лежать вне формы, и практически с твердыми частицами (опять же, равномерной плотности), где центр тяжести может лежать в пределах тела. В (виртуальной) позиции отвесов должна быть записана другими, чем рисунок их по форме средств.

метод балансировки

Для выпуклых двумерных форм, центроида может быть найдена путем балансировки формы в меньшем форме, например, в верхней части узкого цилиндра. Центроид происходит где-то в диапазоне от контакта между двумя формами (и точно в точке, где форма будет балансировать на цапфе). В принципе, постепенно узкие цилиндры могут быть использованы, чтобы найти центр тяжести с произвольной точностью. На практике воздушные течения делают это неосуществимо. Тем не менее, путем маркировки диапазона перекрытия из нескольких остатков, можно достичь значительного уровня точности.

Из конечного множества точек

Центроид конечного множества точек в это К < Displaystyle <к>> Икс 1 , Икс 2 , . , Икс К < Displaystyle mathbf <х>_ <1>, mathbf <х>_ <2>, ldots, mathbf <х>_ <к>> р N < Displaystyle mathbb ^ <п>>

С знак равно Икс 1 + Икс 2 + ⋯ + Икс К К < Displaystyle mathbf = < гидроразрыва < mathbf <х>_ <1>+ mathbf <х>_ <2>+ cdots + mathbf <х>_ <к>> <к>> > ,

Эта точка минимизирует сумму квадратов евклидовых расстояний между собой, и каждую точку в наборе.

По геометрической декомпозиции

Центроид плоской фигуры может быть вычислена путем деления его на конечное число простых фигур , вычисление центроида и площади каждой части, а затем вычисления Икс < Displaystyle X> Икс 1 , Икс 2 , . , Икс N < Displaystyle X_ <1>, , точками, X_ <п>> С я < Displaystyle C_ <я>> A я < Displaystyle A_ <я>>

С Икс знак равно Σ С я Икс A я Σ A я , С Y знак равно Σ С я Y A я Σ A я < Displaystyle C_ <х>= < гидроразрыва < сумма C_ > A_ <я>> < сумма А_ <я>>>, C_ <у>= < гидроразрыва < сумма C_ > A_ <я>> < сумма A_ <я>>>>

Читайте также:  Как настроить смарт тв на телевизоре ввк

Отверстия в рисунке , перекрывается между частями или частями , которые выходят за пределы фигуры могут все быть обработаны с использованием отрицательных областей . А именно, эти меры должны быть приняты с положительными и отрицательными знаками таким образом , что сумма знаков для всех частей , которые окружают данный момент является 1 , если принадлежит , и 0 в противном случае. Икс < Displaystyle X> A я < Displaystyle A_ <я>> A я < Displaystyle A_ <я>> A я < Displaystyle A_ <я>> п < Displaystyle р> п < Displaystyle р> Икс < Displaystyle X>

Например, на рисунке ниже (а) легко разделить на квадрат и треугольник, как с положительной области; и круглое отверстие, с отрицательной области (б).

Пирамиды традиционно считаются сложными фигурами в задаче C2. А уж если в основании пирамиды лежит треугольник (т.е. пирамида становится тетраэдром), то все становится совсем грустно. В общем, если в ЕГЭ по математике вам попадется правильный тетраэдр, примите мои поздравления: это самая мерзкая и сложная фигура, которая встречается на настоящем экзамене.

Тем не менее, после небольшой тренировки все становится вполне решаемо. И в этом уроке мы пошагово разберем каждую вершину тетраэдра и найдем каждую координату. Вы убедитесь: все, что нам действительно надо знать — это две теоремы:

  1. Теорема Пифагора — без нее не решается вообще ни одна задача C2, потому что на этой теореме построена сама идея декартовой системы координат;
  2. Теорема о медианах. А именно: медианы треугольника пересекаются в одно точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Вот и весь список! Вы знаете эти теоремы? Тогда поехали!

Задача. В правильном тетраэдре SABC , все ребра которого равны 1, введите систему координат и найдите координаты вершин.

[Подпись к рисунку]

Я хотел бы попросить помощи относительно барицентрических координат тетраэдра:

После подхода я нашел здесь:
http://www.cdsimpson.net/2014/10/barycentric-coordinates.html
я реализовал функцию C ++ для нахождения барицентрических координат точки в тетраэдре:

Однако мой код, кажется, вычисляет немного неправильные барицентрические координаты —
сравнивая мои результаты с эталонной реализацией отсюда:
http://dennis2society.de/painless-tetrahedral-barycentric-mapping
мои четыре барицентрических значения каждый меньше значений, рассчитанных по
эталонная реализация.

Кто-нибудь замечает какие-либо ошибки в моей реализации? Большое спасибо за помощь!

Ссылка на основную публикацию
На бутсах развязываются шнурки
В большинстве случаев бутсы носят спортсмены. В профессиональной экипировке каждая деталь играет большую роль. От правильно зашнурованной обуви часто зависят...
Монохроматический свет падает нормально на дифракционную решетку
На диФракционную решетку, содержащую n=400 штрихов на 1 мм, падает нормально монохроматический свет (L=0,6 мкм). Найти общее число диФракционных максимумов,...
Мышка intro mw175 как подключить
Простая и удобная Привет всем! К моему новенькому ноутбуку понадобилась мышка. Мне нужна была недорогая, желательно беспроводная простая мышь без...
Найдите координаты центроида тетраэдра
В математике и физике , то медианы или геометрический центр из плоской фигуры является средней арифметическим положением всех точек на...
Adblock detector