Метод выделения линейных множителей в определителе

Метод выделения линейных множителей в определителе

Вычислить определитель:.

Заметив, что элементы первого столбца представлены как суммы двух чисел, разложим определитель в сумму двух определителей:

.

Теперь каждый из полученных определителей разложим в сумму двух определителей, воспользовавшись тем, что элементы вторых столбцов у них также представлены в виде сумм, и т.д. Проделав это, получим (n > 2), что строки полученных определителей будут такими: ai, ai, , ai или b1, b2, ,bn . Строки 1 го типа пропорциональны, 2 го типа равны и, следовательно, все слагаемые равны нулю. Следовательно: Dn = 0 (n > 2).

Для определителей такого же типа, но первого и второго порядков получим:

D1 = | a1+ b1 | = a1+ b1; D2 = =

Метод рекуррентных (возвратных) соотношений.

Вычислить определитель n–го порядка: .

Разлагая определитель по элементам первой строки, получим рекурентное соотношение: Dn=.

Разложив определитель в правой части соотношения по первому столбцу, запишем новое рекурентное соотношение: Dn = 5Dn–1 – 6Dn–2.

.е.Dn = 3 n + 1 – 2 n + 1 .

В общем случае, для рекуррентных соотношений типа: Dn = pDn – 1 + qDn – 2 .можно проделать следующее: пусть  и  корни уравнения x 2 – pxq = 0, т.е. p =  + ,

Аналогично можно поступить и в более сложных рекуррентных соотношениях.

5. Метод изменения элементов определителя.

19. Если ко всем элементам определителя D добавить одно и то же число x, то определитель увеличится на произведение числа x на сумму алгебраических дополнений всех элементов определителя D.

◀ Пусть D = | aij |; D = | aij + x |. Разложим D в сумму двух определителей относительно первой строки, каждый из них на два относительно второй строки и т.д. Слагаемые, содержащие более одной строки элементов x, равны нулю.

Слагаемые, содержащие одну строку элементов x, разложим по этой строке. Получим D = D + x. ▶

а). . Вычтем из всех элементов определителя числоx

. Тогда Dn = (a1x)(a2x)…(anx) + x= (a1x)(a2x).

…(anx) + x = (a1x) (a2x) … (anx) + x= (a1x )( a2x )…( anx ) +

+ x =

= x(a1x) (a2x) … (an – x) .

Раздел 5. СистемЫ линейных уравнений

§ 1. Постановка задачи и терминология

Требуется найти x1, x2xn удовлетворяющие следующим соотношениям:

.

Введем обозначения: – главная матрица системы уравнений;

–вектор-столбец неизвестных; – вектор-столбец правых частей.

При таких обозначениях система может быть записана в матричной форме: Ax = b.

Вектор называется решением системы Ax = b, если Acb.

Если b1 = b2 = … = bm= 0, то система уравнений называется однородной.

Если хотя бы одно из значений bi (i = 1, …, m) отлично от нуля система уравнений называется неоднородной.

Матрица называется расширенной матрицей системы уравнений.

Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система линейных уравнений имеет единственное решение, то она называется определенной.

Вопросы, на которые нам предстоит ответить по отношению к системе линейных уравнений:

А. Совместна ли система, т.е. имеет ли она хотя бы одно решение?

В. При положительном ответе на предыдущий вопрос определена ли система, т.е. будет ли ее решение единственным?

С. Как находить решение системы?

В случае однородной системы на вопрос А, можно ответить сразу:

Однородная система уравнений всегда совместна. Набор x1 = x2 = … = xn = 0 является решением системы. Такое решение называется тривиальным решением. Поэтому для однородной системы линейных уравнений вопрос В звучит следующим образом:

Читайте также:  Разобрать утюг philips gc 4410

Имеет ли система линейных однородных уравнений другие решения, кроме тривиальных?

Понятие и назначение определителей, основные положения их теории, методы вычисления и свойства. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Метод эффективного понижения порядка. Сущность матриц и порядок проведения операций над ними.

Нажав на кнопку "Скачать архив", вы скачаете нужный вам файл совершенно бесплатно.
Перед скачиванием данного файла вспомните о тех хороших рефератах, контрольных, курсовых, дипломных работах, статьях и других документах, которые лежат невостребованными в вашем компьютере. Это ваш труд, он должен участвовать в развитии общества и приносить пользу людям. Найдите эти работы и отправьте в базу знаний.
Мы и все студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будем вам очень благодарны.

Чтобы скачать архив с документом, в поле, расположенное ниже, впишите пятизначное число и нажмите кнопку "Скачать архив"

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 26.07.2009
Размер файла 87,1 K

Подобные документы

Понятие и сущность определителей второго порядка. Рассмотрение основ системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Изучение определителей n–ого порядка и методы их вычисления. Особенности системы из n линейных уравнений с n неизвестными.

презентация [316,5 K], добавлен 14.11.2014

Определители второго и третьего порядка. Перестановки и подстановки. Миноры и алгебраические дополнения. Применение методов приведения определителя к треугольному виду, представления определителя в виде суммы определителей, выделения линейных множителей.

курсовая работа [456,6 K], добавлен 19.07.2013

Понятие матрицы и линейные действия над ними. Свойства операции сложения матриц. Определители второго и третьего порядков. Применение правила Саррюса. Основные методы решения определителей. Элементарные преобразования матрицы. Свойства обратной матрицы.

учебное пособие [223,0 K], добавлен 04.03.2010

Задачи и методы линейной алгебры. Свойства определителей и порядок их вычисления. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса. Разработка вычислительного алгоритма в программе Pascal ABC для вычисления определителей и нахождения обратной матрицы.

курсовая работа [1,1 M], добавлен 01.02.2013

Понятие и назначение определителей, их общая характеристика, методика вычисления и свойства. Алгебра матриц. Системы линейных уравнений и их решение. Векторная алгебра, ее закономерности и принципы. Свойства и приложения векторного произведения.

контрольная работа [996,2 K], добавлен 04.01.2012

Элементы линейной алгебры. Виды матриц и операции над ними. Свойства определителей матрицы и их вычисление. Решение систем линейных уравнений в матричной форме, по формулам Крамера и методу Гаусса. Элементы дифференциального и интегрального исчислений.

учебное пособие [1,5 M], добавлен 06.11.2011

Число, характеризующее квадратную матрицу. Вычисление определителя первого и второго порядков матрицы. Использование правила треугольников. Алгебраическое дополнение некоторого элемента определителя. Перестановка двух строк или столбцов определителя.

презентация [81,5 K], добавлен 21.09.2013

Понятие ранга матрицы. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Свойства скалярного произведения. Разложение вектора по координатным осям. Минор и алгебраическое дополнение. Определители второго и третьего порядка. Плоскость и прямая в пространстве.

курс лекций [3,0 M], добавлен 30.10.2013

Теория определителей в трудах П. Лапласа, О. Коши и К. Якоби. Определители второго порядка и системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители третьего порядка и свойства определителей. Решение системы уравнений по правилу Крамера.

Читайте также:  Как поставить номер на прозвон

презентация [642,7 K], добавлен 31.10.2016

Определители второго и третьего порядков, свойства определителей. Два способа вычисления определителя третьего порядка. Теорема разложения. Теорема Крамера, которая дает практический способ решения систем линейных уравнений используя определители.

В общем случае правило вычисления определителей $n$-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:

Задание. Вычислить определитель второго порядка $left| egin <11>& <-2>\ <7>& <5>end
ight|$

Решение. $left| egin <11>& <-2>\ <7>& <5>end
ight|=11 cdot 5-(-2) cdot 7=55+14=69$

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.

Задание. Вычислить определитель $left| egin <3>& <3>& <-1>\ <4>& <1>& <3>\ <1>& <-2>& <-2>end
ight|$ методом треугольников.

Решение. $left| egin <3>& <3>& <-1>\ <4>& <1>& <3>\ <1>& <-2>& <-2>end
ight|=3 cdot 1 cdot(-2)+4 cdot(-2) cdot(-1)+$

$$+3 cdot 3 cdot 1-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot(-2) cdot 3-4 cdot 3 cdot(-2)=54$$

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":

Задание. Вычислить определитель $left| egin <3>& <3>& <-1>\ <4>& <1>& <3>\ <1>& <-2>& <-2>end
ight|$ с помощью правила Саррюса.

Решение.

$$+(-1) cdot 4 cdot(-2)-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot 3 cdot(-2)-3 cdot 4 cdot(-2)=54$$

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $left| egin <1>& <2>& <3>\ <4>& <5>& <6>\ <7>& <8>& <9>end
ight|$

Решение. $left| egin <1>& <2>& <3>\ <4>& <5>& <6>\ <7>& <8>& <9>end
ight| leftarrow=a_ <11>cdot A_<11>+a_ <12>cdot A_<12>+a_ <13>cdot A_<13>=$

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Задание. Вычислить определитель $left| egin <1>& <2>& <3>\ <4>& <5>& <6>\ <7>& <8>& <9>end
ight|$

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Задание. Вычислить определитель $left| egin <9>& <8>& <7>& <6>\ <5>& <4>& <3>& <2>\ <1>& <0>& <1>& <2>\ <3>& <4>& <5>& <6>end
ight|$ , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Читайте также:  Самара 126 заказное письмо что это

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:

$$=4 cdot(2 cdot 8-4 cdot 4)=0$$

Замечание

Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Задание. Вычислить определитель $Delta=left| egin <-2>& <1>& <3>& <2>\ <3>& <0>& <-1>& <2>\ <-5>& <2>& <3>& <0>\ <4>& <-1>& <2>& <-3>end
ight|$ приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_<11>$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_<11>$ , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

Ответ. $Delta=-80$

Теорема Лапласа

Пусть $Delta$ — определитель $n$-го порядка. Выберем в нем произвольные $k$ строк (или столбцов), причем $k leq n-1$ . Тогда сумма произведений всех миноров $k$-го порядка, которые содержатся в выбранных $k$ строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.

Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель $left| egin <2>& <3>& <0>& <4>& <5>\ <0>& <1>& <0>& <-1>& <2>\ <3>& <2>& <1>& <0>& <1>\ <0>& <4>& <0>& <-5>& <0>\ <1>& <1>& <2>& <-2>& <1>end
ight|$

Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки — вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):

Ссылка на основную публикацию
Маршрутизатор доступа гарда 10g
Флагманский продукт компании ПАО "Институт Сетевых Технологий", поставляется в основном на заказы Минобороны, силовых ведомств и государственных структур, в информационных...
Кто проводит учет карт в опс
Об актуальных изменениях в КС узнаете, став участником программы, разработанной совместно с ЗАО "Сбербанк-АСТ". Слушателям, успешно освоившим программу выдаются удостоверения...
Макросы на мышку gembird
Первым делом перемещаем наши макросы в корень программы Способ 1: Перейдите в: директорию программы MacroLibrary и переместите туда макрос формата...
Метод выделения линейных множителей в определителе
Вычислить определитель:. Заметив, что элементы первого столбца представлены как суммы двух чисел, разложим определитель в сумму двух определителей: . Теперь...
Adblock detector