Как вычислить объем пирамиды по координатам вершин

Как вычислить объем пирамиды по координатам вершин

Даны координаты вершин пирамида ABCD

1. Объём пирамиды

2. Площадь грани ABD

3. Уголь между рёбрами AC и AD

4. Уравнение плоскости BCA

5. Уравнение ребра AB

6. Угол между плоскостью BCA и и прямой AD

  • Попроси больше объяснений
  • Следить
  • Отметить нарушение

Shmt1999 09.08.2019

Ответ

Проверено экспертом

Так как решения для разных вариантов аналогичны, то даём ответ на вариант 1.

Даны вершины пирамиды:

А(1; 3; 6), В(2; 2; 1), С(-1; 0; 1) и Д(-4; 6; 3).

Находим векторы из вершины А.

АВ(1; -1; -5), АС(-2; -3; -5), АД(-5; 3; -9).

1) Векторное произведение АВ х АС =

х у z x y 5x + 10y — 3z + 5y -15x — 2z =

1 -1 -5 1 -1 = -10x + 15y — 5x.

-2 -3 -5 -2 -3 АВ х АС = (-10; 15; -5).

Скалярное произведение (АВ х АС) * АД = 50 + 45 + 45 = 140.

Объём равен (1/6)*140 = 70/3.

2) 1) Векторное произведение АВ х АД =

х у z x y 9x + 25y + 3z + 9y + 15x — 5z =

1 -1 -5 1 -1 = 24x + 34y — 2z.

-5 3 -9 -5 3 АВ х АД = (24; 34; -2).

Модуль произведения равен √(576 + 1156 + 4) =√1736 = 2√434.

Площадь грани АВД = (1/2)*2√434 = √434 ≈ 20,83267.

3) cos(AC_AD) = (-2*-5 + -3*3 6 + -5*-9)/(√38*√115) = 46/√4370 =

Угол (AC_AD) = arc cos (46/√4370) = 45,90482°.

4) Уравнение плоскости АВС по трём точкам можно определить так:

Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точек соответственно.

Тогда уравнение определяется из этого выражения: (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.

Подставив координаты точек, после приведения подобных и сокращения, получим: АВС: 2x — 3y +z + 1 = 0.

5) Уравнение АВ: (x — 1)/1 = (y — 3)/-1 = (z — 6)/-5.

6) Угол между прямой AD и плоскостью АВС:

Направляющий вектор прямой имеет вид: l m n Скалярное произведение 125

s = -5 2 -9 Модуль =√110 = 10,48808848.

Читайте также:  Как отключить звонок на смартфоне

Вектор нормали плоскости имеет вид: A B C

Ax + By + Cz + D = 0 -10 15 -5

Модуль равен 18,70828693

sin fi = 0,637058989

fi = 0,690676766 радиан = 39,57286369 градус

Часто в задачах школьного курса геометрии приходится решать задания, которые требуют использования комплексного подхода. Одной из таких задач является вычисление объема пирамиды по координатам вершин. Как решить эту геометрическую задачу — ответит приведенная ниже статья.

Что представляет собой пирамида?

Говоря простыми словами, под этой фигурой понимают пространственный объект, ограниченный треугольными сторонами и одной многоугольной гранью, которая называется основанием. Многоугольное основание может быть произвольным n-угольником на плоскости, например, правильным треугольником, параллелограммом и так далее.

Вам будет интересно: Какую роль играет репродуктивная клетка животных и растений?

Любая пирамида имеет n + 1 грань, 2 * n ребер и n + 1 вершину. Вершины фигуры не являются равноправными. Так, существует единственная вершина, которая не принадлежит основанию. Она называется главной. Расстояние от нее до плоскости основания — это высота фигуры.

Пирамиды могут быть наклонными, если высота пересекает основание не в его центре, или прямыми, когда высота с основанием пересекается в геометрическом центре последнего. Также фигуры могут быть неправильными и правильными. Пирамиды правильные состоят из равноугольного и равностороннего основания и нескольких равнобедренных треугольников, которые друг другу равны.

Как рассчитывается объем пирамиды?

Прежде чем приводить методику вычисления по координатам вершин объема пирамиды, следует привести формулу, при помощи которой можно рассчитать эту величину для фигуры любого типа из рассматриваемого класса. Итак, объем пирамиды рассчитывается так:

Здесь So — это основания площадь, h — расстояние от главной вершины до основания, то есть высота пирамиды.

Таким образом, любая геометрическая задача на нахождение объема пирамиды сводится к расчету величин So и h.

Как найти объем пирамиды по координатам вершин: методика

Пирамида может быть представлена произвольным n-угольным основанием. Чтобы рассчитать его площадь, следует внимательно изучить условие задачи, в котором должно быть сказано, о каком типе n-угольника идет речь. Если это треугольник или параллелограмм, то расчет его площади по известным координатам очень прост: необходимо лишь найти векторное произведение соответствующих векторов сторон.

Читайте также:  Как создать формулу в excel на сложение

Вычислить высоту пирамиды также не представляет особого труда. Для этого следует из любых трех точек основания получить уравнение плоскости в общем виде, а затем нужно воспользоваться формулой расстояния между плоскостью и точкой (вершиной пирамиды). Формула имеет вид:

d = |(A * x1 + B * y1 + C * z1 + D)| / √(A2 + B2 + C2).

Здесь (x1; y1; z1) — координаты точки.

Уравнение плоскости имеет вид:

A * x + B * y + C * z + D = 0.

Задача с треугольной пирамидой

Решим задачу на примере самой простой пирамиды — треугольной. Условие простое: ниже даны координаты вершин пирамиды, объем найти нужно для фигуры, которая на этих координатах построена:

Положим, что основание пирамиды является треугольником ABC. Найдем длины векторов AB¯ и AC¯:

Векторное произведение AB¯ и AC¯ даст нам, с одной стороны, двойную площадь треугольника, то есть 2 * So, а с другой стороны, мы получим координаты нормального к плоскости вектора n¯, имеем:

n¯ = [AB¯ * AC¯] = (8; -10; -7).

Площадь треугольного основания равна полудлине вектора n¯, то есть:

So = √(82 + 102 + 72) / 2 = 7,3.

Прежде чем рассчитывать расстояние от D до плоскости ABC, необходимо записать уравнение плоскости. Три его коэффициента (A, B, C) мы уже знаем, они соответствуют координатам нормали n¯. Свободный член можно получить, подставив в уравнение координаты любой точки плоскости, например точки A, имеем:

D = -1 * (A * x1 + B * y1 + C * z1) = -1 * (8 * 1 + (-10) * 0 + (-7) * 3) = 13.

Тогда уравнение плоскости основания пирамиды принимает форму:

8 * x — 10 * y — 7 * z + 13 = 0.

Теперь применяем приведенную выше формулу для расчета расстояния от точки D(4; 3; 4) до найденной плоскости, получаем:

d = |(8 * 4 — 10 * 3 — 7 * 4 + 13)| / √(82 + 102 + 72) = 0,89.

Поскольку найденное значение расстояния d соответствует высоте пирамиды треугольной h, то можно воспользоваться формулой для объема фигуры:

V = 1 / 3 * So * h = 1 / 3 * 7,3 * 0,89 ≈ 2,166.

Полученное значение объема выражено в кубических единицах выбранной координатной системы.

Читайте также:  Ручной пылесос vitesse отзывы

Вычисление площадей многоугольников и объемов многогранников, заданных координатами своих вершин в прямоугольной системе координат, основывается на использовании скалярного, векторного и смешанного произведений векторов.

Если параллелограмм задан в пространстве координатами своих вершин, то для вычисления его площади нужно найти координаты двух векторов, соответствующих смежным сторонам параллелограмма, а затем модуль их векторного произведения. Аналогично вычисляется площадь треугольника, равная половине модуля векторного произведения векторов, на которых он построен как на смежных сторонах.

Пример 4.2. Пусть три вершины треугольника заданы своими координатами: A(4;4;4), B(1; 2; 3), C(3; —1;2).

Для определения площади ΔABC с помощью (4.10) найдем координаты векторов AB и AC : AB = <1 — 4; 2 — 4; 3 — 4>= < — 3; —2; —1>, —1 = <3 — 4; —1 — 4; 2 — 4>= < — 1; —5; —2>.

Затем по (3.2) вычислим их векторное произведение:

Модуль этого векторного произведения равен | AB × AC | = √((—1) 2 + (—5) 2 + 13 2 ) = √195, и следовательно, S ΔABC = | AB × AC |/2 = √195/2 #

Для вычисления объема параллелепипеда, заданного координатами своих вершин, нужно найти координаты трех векторов, соответствующих смежным ребрам, а затем вычислить модуль смешанного произведения этих векторов. Через смешанное произведение вычисляется и объем произвольной треугольной пирамиды SABC (см. пример 3.2), поскольку он равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на ребрах AB , AC и AS . Таким образом, объем этой пирамиды равен VSABC = | AB AC AS |/6.

Пример 4.3. Найдем объем V пирамиды SABC, заданной координатами своих вершин: A(2; —1;1), B(5; 5; 4), C(3; 2; —1), S(4;1;3).

Используя (4.10), вычисляем координаты векторов, направленных по ребрам пирамиды: AB = <5 — 2; 5 — (—1);4 — 1>= <3; 6; 3>, AC = <3 — 2; 2 — (—1); —1 — 1>= <1;3; —2>,= AS <4 — 2;1 — (—1); 3 — 1>= <2;2;2>, и определяем объем с помощью смешанного произведения найденных векторов:

Ссылка на основную публикацию
Как вставить верхний колонтитул
Разместить в документе MS Word логотип компании, добавить важный текстовый фрагмент или вставить рамку, время и дату – это делается...
Как в яндексе убрать подсказки в поисковике
Когда мы вводим поисковый запрос в адресной или поисковой строке Яндекса, Google или в любом другом поисковике, то видим подсказки...
Как варить пороги полуавтоматом
Подержанные машины при неправильном уходе покрываются коррозией. Иногда, если вовремя не устранить эту проблему, требуется полная замена отдельных частей кузова....
Как вставить видео в презентацию powerpoint 2013
Из этой статьи вы узнаете о 2-ух способах, как вставить видео в презентацию PowerPoint 2010, а также, почему НЕ вставляется...
Adblock detector