Как сокращать дроби с факториалами

Как сокращать дроби с факториалами

Прежде чем перейти к изучению алгебраических дробей рекомендуем вспомнить, как работать с обыкновенными дробями.

Любая дробь, в которой есть буквенный множитель, называется алгебраической дробью.

Примеры алгебраических дробей.

a
2

;

a − b
a + b

;

2x
3

;

m + n
n

;

7(x + 1)
3

Как и у обыкновенной дроби, в алгебраической дроби есть числитель (наверху) и знаменатель (внизу).

Сокращение алгебраической дроби

Алгебраическую дробь можно сокращать. При сокращении пользуются правилами сокращения обыкновенных дробей.

Напоминаем, что при сокращении обыкновенной дроби мы делили и числитель, и знаменатель на одно и тоже число.

Алгебраическую дробь сокращают таким же образом, но только числитель и знаменатель делят на один и тот же многочлен.

Рассмотрим пример сокращения алгебраической дроби.

Определим наименьшую степень, в которой стоит одночлен « a » . Наименьшая степень для одночлена « a » находится в знаменателе — это вторая степень.

Разделим, и числитель, и знаменатель на « a 2 ». При делении одночленов используем свойство степени частного.

Напоминаем, что любая буква или число в нулевой степени — это единица.

Нет необходимости каждый раз подробно записывать, на что сокращали алгебраическую дробь. Достаточно держать в уме степень, на которую сокращали, и записывать только результат.

Краткая запись сокращения алгебраической дроби выглядит следующим образом.

Сокращать можно только одинаковые буквенные множители.

Нельзя сокращать

Можно сокращать

Другие примеры сокращения алгебраических дробей.

Как сократить дробь с многочленами

Рассмотрим другой пример алгебраической дроби. Требуется сократить алгебраическую дробь, у которой в числителе стоит многочлен.

Сокращать многочлен в скобках можно только с точно таким же многочленом в скобках!

Ни в коем случае нельзя сокращать часть многочлена внутри скобок!

Неправильно

Правильно

Определить, где заканчивается многочлен, очень просто. Между многочленами может быть только знак умножения. Весь многочлен находится внутри скобок.

После того, как мы определили многочлены алгебраической дроби, сократим многочлен « (m − n) » в числителе с многочленом « (m − n) » в знаменателе.

Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами.

Вынесение общего множителя при сокращении дробей

Чтобы в алгебраических дробях появились одинаковые многочлены иногда нужно вынести общий множитель за скобки.

В таком виде сократить алгебраическую дробь нельзя, так как многочлен
« (3f + k) » можно сократить только со многочленом « (3f + k) ».

Поэтому, чтобы в числителе получить « (3f + k) », вынесем общий множитель « 5 ».

Сокращение дробей с помощью формул сокращенного умножения

В других примерах для сокращения алгебраических дробей требуется
применение формул сокращенного умножения.

В первоначальном виде сократить алгебраическую дробь нельзя, так как нет одинаковых многочленов.

Но если применить формулу разности квадратов для многочлена « (a 2 − b 2 ) », то одинаковые многочлены появятся.

Другие примеры сокращения алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения.

Факториал – так называют часто встречающуюся в практике функцию, определённую для целых неотрицательных чисел. Название функции происходит от английского математического термина factor – «сомножитель». Обозначается она n!. Знак факториала «!» был введён в1808 году во французском учебнике Хр. Крампа.

Для каждого целого положительного числа n функция n! равна произведению всех целых чисел от 1 до n.

Для удобства полагают по определению 0! = 1. О том, что нуль – факториал должен быть по определению равен единице, писал в 1656 году Дж. Валлис в «Арифметике бесконечных».

Функция n! растёт с увеличением n очень быстро. Так,

При преобразовании выражений, содержащих факториал, по лезно использовать равенство

(n + 1)! = (n + 1) • n! = (n + 1) • n • (n – 1)! (1)

Английский математик Дж. Стирлинг в 1970г. предложил очень удобную формулу для приближённого вычисления функции n!:

где е = 2,7182. — основание натуральных логарифмов.

Относительная ошибка при пользовании этой формулой очень невелика и быстро падает при увеличении числа n.

Способы решения выражений, содержащих факториал, рассмотрим на примерах.

Пример 2. Вычислить 10! 8!

Решение. Воспользуемся формулой (1):

Решение. Согласно формуле (1) имеем

Раскрыв скобки в произведении, получаем квадратное уравнение

n 2 + 5n — 84 = 0, корнями которого являются числа n = 7 и n = -12. Од нако факториал определен только для неотрицательных целых чисел, т. е. для всех целых чисел n ≥ 0. Поэтому число n = -12 не удовлетворя ет условию задачи. Итак, n = 7.

Читайте также:  Батарейка 2030 и 2032 в чем разница

Пример 4. Найти хотя бы одну тройку натуральных чисел х, у и z, для которой верно равенство х! = y! • z!.

Решение. Из определения факториала натурального числа n сле дует, что

Положим в этом равенстве n + 1 = у! = х, где у — произвольное нату ральное число, получим

Теперь видим, что искомые тройки чисел можно задать в виде

где y- натуральное число, больше 1.

Например, справедливы равенства

Пример 5. Определить, сколькими нулями оканчивается деся тичная запись числа 32!.

Решение. Если десятичная запись числа Р = 32! оканчивается k нулями, то число Р можно представить в виде

где число q не делится на 10. Это означает, что разложение числа q на простые множители не содержит одновременно 2 и 5.

Поэтому, чтобы ответить на поставленный вопрос, попробуем опреде лить, с какими показателями в произведение 1 • 2 • 3 • 4 • . • 30 • 31 • 32 входят числа 2 и 5. Если число k — наименьший из найденных показателей, то число Р будет оканчиваться k нулями.

Итак, определим, сколько чисел среди натуральных чисел от 1 до 32 делятся на 2. Очевидно, что их количество равно 32/2 = 16. Затем определим, какое количество среди найденных 16 чисел делится на 4; затем — какое количество из них делится на 8 и т. д. В результате получим, что среди тридцати двух первых натуральных чисел на 2 делится 16 чисел,

из них на 4 делятся 32/4 = 8 чисел, из них на 8 делятся 32/8 = 4 числа, из них на 16 делятся 32/16 = 2 числа и, наконец, из них на 32 делятся 32/32=1, т.е. одно число. Понятно, что сумма полученных количеств:

16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31

равна показателю степени, с которым число 2 входит в 32!.

Аналогично определим, сколько чисел среди натуральных чисел от 1 до 32 делятся на 5, а из найденного количества на 10. Разделим 32 на 5.

Получим 32/5 = 6,4. Следовательно, среди натуральных чисел от 1 до 32

существует 6 чисел, которые делятся на 5. Из них на 25 делится одно

число, так как 32/25 = 1,28. В результате число 5 входит в число 32! с пока зателем, равным сумме 6+1 = 7.

Из полученных результатов следует, что 32!= 2 31 5 7 • т, где число т не делится ни на 2, ни на 5. Поэтому число 32! содержит множитель

10 7 и, значит, оканчивается на 7 нулей.

Итак, в данном реферате определено понятие факториала.

Приведена формула английского математика Дж Стирлинга для приближённого вычисления функции n!

При преобразовании выражений, содержащих факториал, по лезно использовать равенство

(n + 1)! = (n + 1) • n! = (n + 1) • n • (n – 1)!

На примерах подробно рассмотрены способы решения задач с факториалом.

Факториал используется в различных формулах в комбинаторике, в рядах и др.

Например, количество способов выстроить n школьников в одну шеренгу равняется n!.

Число n! равно, например, количеству способов, которыми можно n различных книг расставить на книжной полке, или, например, число 5! равно количеству способов, которыми пять человек можно рассадить на одной скамейке. Или, например, число 27! равно количеству способов, которыми наш класс из 27 учеников можно выстроить в ряд на уроке физкультуры.

Тема: «Деление дробей. Факториал.»

1) вывести алгоритм n! факториала и сформировать способность к его выполнению;

2) повторить и закрепить определение, взаимосвязь между умножением и делением, тренировать способность к сокращению дробей.

Оборудование, демонстрационный материал

Сложение и вычитание дробей

Суммой (разностью) дробей является дробь

Привести дроби к НОЗ

Общий знаменатель записать в знаменатель суммы (разности)

Сложить (вычесть) числители и записать ответ
в числитель суммы (разности)

Если возможно, сократить полученную дробь

и выделить и нее целую часть

задания для актуализации знаний:

Алгоритм умножения дробей

1) Произведение дробей записать в виде дроби, в числители, которой записано произведение числителей, в знаменателе произведение знаменателей.

2) Если возможно сократить, получившуюся дробь.

Читайте также:  Проверить статус заявки теле2

3) Найти произведение чисел, стоящих в числителе и чисел, стоящих в знаменателе.

4. Если получилась неправильная дробь, выделить целую часть.

Алгоритм деления дробей

1. Деление заменить умножением.

2. Делитель заменить числом, обратным.

3. Выполнить умножение по известному алгоритму.

Оборудование, демонстрационный материал

Факториалом числа n называется произведение

всех натуральных чисел от 1 до n:

n! = 1· 2 · 3 · 4 · …· n

(n! читается: «эн факториал» )

Ход урока

1. Самоопределение к учебной деятельности

1) включить учащихся в учебную деятельность;

2) определить содержательные рамки урока: продолжаем работать над действиями с обыкновенными дробями.

Организация учебного процесса на этапе 1:

– Какие действия с обыкновенными дробями мы научились выполнять? (Сравнивать, складывать, вычитать, умножать обыкновенные дроби и смешанные числа.)

– Вспомните, по какому плану мы изучали тему сложение и вычитание дробей. (Алгоритм сложения дробей.)

– Молодцы! Для успешной работы выполним следующие задания.

( Показ презентации Повторение )

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности

1) актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала: сложение и вычитание, умножение и деление дробей, сравнение дробей;

2) актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ, обобщение;

3) зафиксировать все повторяемые понятия и алгоритмы в виде схем и символов: в виде свойств и определения;

4) зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности, демонстрирующее на личностно значимом уровне недостаточность имеющихся знаний: найти частное дробей .

Организация учебного процесса на этапе 2:

Вспомните, по какому плану мы изучали тему умножение, деление дробей.

( Показ презентации Повторение )

(1. Сформулируйте определение взаимно обратных чисел. (Числа взаимно обратные, если их произведение равно 1).

2.Сформулируйте взаимно обратных действия. (Сложение и вычитание, умножение и деление.)

Вспомните, по какому плану мы изучали тему «Сократить дробь с буквенными выражениями»

Организация учебного процесса на этапе 3:

1). Слайд 2 ( Показ презентации Факториал )

— Быль: «Однажды на экзамене…»

Преподаватель : Прочитайте выражение:

Студент: Единица, деленная на два-а-а.

Плюс единица, деленная на три-и-и.

Плюс единица, деленная на четы-ы-ыре.

Преподаватель : Простите, постойте…

Почему вы кричите?

Студент: Нотам же написаны восклицательные знаки.

– Как бы вы назвали такие числа? (Варианты детей.)

— Что студенту необходимо знать?

— В чем возникло затруднение?

— Какую цель мы поставим перед собой? (Найти способ решения)

— А, зачем нам нужен, этот способ?

Организация учебного процесса на этапе 4:

— Сформулируйте тему урока (Показать Алгоритм факториала)

-Запишите тему в тетрадь.

слайд 3 ( Показ презентации Факториал)

– В математике их называют Факториалы

Сформулируйте определение n!

(n! называется произведение всех натуральных чисел. )

– Какую цель мы поставим перед собой? (Найти способ решения примеров с факториалами, не используя определение делимости.)

слайд 4 ( Показ презентации).

– А зачем нам нужен, будет этот способ? (Чтобы научится быстро выполнять решения с дроби.)

– Сформулируйте тему урока. (Факториал.)

– Запишите тему в тетрадь.

Вычисли : 2!, 3!, 4!, 5!, 6! Слайд 5 ( Показ презентации).

— Какое задание вы должны были сделать?

-Вы знаете алгоритм факториала?

-Почему данное задание вызвало у вас затруднение? (нехватка времени)

-Чтобы быстро и правильно выполнить задание, что необходимо знать?

-Какая цель урока? (Построить алгоритм и научится быстро выполнять задание)

Какой следующий шаг вы должны сделать?(Найти закономерность и ей воспользоваться)

С проверкой Презентация

3) Выявление причины затруднения и постановка цели деятельности

1) организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности: возможность найти по определению умножения и делимости результат первого примера

2) согласовать цель и тему урока: вывести правило сравнения факториала, научиться делить дроби, тема урока: «деление дробей, факториал».

С теми учащими, которые допустили ошибки организовать диалог по локализации затруднения.

– Какой следующий шаг вы должны сделать после проверки работы и фиксации результатов? (Надо найти место ошибки и понять её причину.)

– Что нужно сделать для этого? (Постараться подробно расписать задание, если это не сделано при выполнении работы.)

Читайте также:  Что такое десятичный эквивалент числа

– Каков может быть результат такой работы? (Можем получить правильный ответ или опять получить не правильный ответ.)

– Если ответ не совпал с образцом, что необходимо сделать? (Определить, какие правила необходимо использовать при выполнении задания и повторить эти правила.)

–Какую цель вы ставите для себя на этом уроке? (Определить причину ошибки и исправить её.)

3. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Цель этапа: проверить своё умение применять алгоритм сложения и вычитания в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки.

слайд 6 ( Показ презентации) ½! > 1/3!

1) ¼! > 1/9!; 2) 1/59! > 1/49!; 3) 1/n! > 1/(n+3)!

4. Построение проекта выхода из затруднения

1) организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;

2) зафиксировать новый способ действия в знаковой, вербальной форме и с помощью эталона.

Факториал заменить умножением чисел.

Выполнить умножение (вычитание) по известному алгоритму.

№ 400 слайд 7 ( Показ презентации)

Приведите к несократимому виду дроби: ;

3) 5!/3! *4! = 5/3! = 5/6; 4) 8!/4!*4! = 5*6*7*8/4! = 5*2*7 = 70;

5) 12!/ 5!*7!= 8*7*11=56*11=616

5. Первичное закрепление во внешней речи

Цель этапа: зафиксировать изученное учебное содержание во внешней речи.

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Цель этапа: проверить своё умение применять алгоритм сложения и вычитания в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки.

Организация учебного процесса на этапе 5:

№400 слайд 7 ( Показ презентации)

Найти значение разности

2) 1/3! – ¼! = (4-1)/4! = ¾! = 1/8;

4) 1/5! – 1/6! = (6-1)/6! = 1/6*24= 1/144

7. Включение в систему знаний и повторение

Цель этапа: 1) тренировать навыки использования нового содержания совместно с ранее изученным: нахождение разности дробей;

2) повторить учебное содержание, которое потребуется на следующих уроках: сокращение дробей.

Организация учебного процесса на этапе 6:

№ 400 (5) 1) ½!=60/5! и 1/5!; 2) 1/3! = 4/4! и ¼!;

3) 1/7! и 1/5! = 42/7!; 4) 1/99! = 100/100! и 1/100!;

(4 учащихся) у доски с проговариванием правила или алгоритма деления дробей.

После проверки по эталону анализируются и исправляются ошибки .

8. Рефлексия деятельности на уроке

1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке: алгоритм факториала;

2) оценить собственную деятельность на уроке;

3) поблагодарить одноклассников, которые помогли получить результат урока;

4) зафиксировать неразрешённые затруднения как направления будущей учебной деятельности;

5) обсудить и записать домашнее задание.

Организация учебного процесса на этапе 8:

– Что нового мы узнали на уроке сегодня? (понятие о факториале)

– С каким правилом тесно связано правило факториал? (С правилом деления и умножения дробей.)

– Проанализируйте свою деятельность на уроке и дайте своей работе оценку .

№400 (6) ( Показ презентации)

½! + 1/3! + ¼! +1/5! = (60+20+5+1)/5! = 43/60;

Предмет – математика 5 Б класс

Учитель – Мирошина Галина Леонидовна.

Тема урока «Факториал»

Тип урока – изучение нового материала.

Цели урока 1) вывести алгоритм n! факториала и сформировать способность к его выполнению; 2) повторить и закрепить определение, взаимосвязь между умножением и делением, тренировать способность к сокращению дробей.

Самоопределение к учебной деятельности

Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности Цель этапа:

1) актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала: сложение и вычитание, умножение и деление дробей, сравнение дробей;

2) актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ, обобщение;

3) зафиксировать все повторяемые понятия и алгоритмы в виде схем и символов: в виде свойств и определения;

Выявление причины затруднения и постановка цели деятельности

Построение проекта выхода из затруднения

Первичное закрепление во внешней речи

Включение в систему знаний и повторение

Рефлексия деятельности на уроке

П риемы и организационные формы , помогающие достичь поставленной цели – закрепление знаний пройденного материала, дидактическое и техническое оснащение урока, при изучении нового материала создание проблемной ситуации, организация самостоятельных работ с проверкой у доски.

Ссылка на основную публикацию
Как создать папку на планшете престижио
Папка на рабочем столе планшета создается двумя способами. Какой метод подойдет для вашего гаджета, зависит от версии Android. Создание папки...
Как сделать свою одежду в роблокс
В Роблокс можно почти все, в том числе и проявлять свои творческие способности в полной мере. Выбирайте подходящую одежду для...
Как сменить цвет экрана
Здравствуйте! Столкнулась с проблемой: мой маленький сын что-то настроил в iPhone таким образом, что экрана теперь показывается с сильным красным...
Как сокращать дроби с факториалами
Прежде чем перейти к изучению алгебраических дробей рекомендуем вспомнить, как работать с обыкновенными дробями. Любая дробь, в которой есть буквенный...
Adblock detector