Экспонент это в математике

Экспонент это в математике

Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора:

или через предел:

Свойства

  • , в частности
  • Экспонента является единственным решением дифференциального уравнения с начальными данными . Кроме того через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.
  • Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и строго больше нуля.
  • Экспонента является выпуклой функцией.
  • Обратная функция к ней — натуральный логарифм.
  • Фурье-образ экспоненты не существует
  • однако преобразование Лапласа существует
  • Производная в нуле равна 1, поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом 45°.
  • Основное функциональное свойство экспоненты, как и всякой показательной функции: .
    • Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна 0, либо имеет вид , где c — некоторая константа.
      • где sinh и cosh — гиперболические синус и косинус.

      Комплексная экспонента

      Комплексная экспонента — математическая функция, задаваемая соотношением , где есть комплексное число. Комплексная экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты вещественного переменного :

      Определим формальное выражение

      .

      Определенное таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции , то есть показать, что разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:

      Сходимость данного ряда легко доказывается:

      .

      Ряд всюду сходится абсолютно, то есть вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции . Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, на комплексной плоскости функция всюду определена и аналитична.

      Свойства

      • Комплексная экспонента — целаяголоморфная функция на всей комплексной плоскости. Ни в одной точке она не обращается в нуль.
      • — периодическая функция с основным периодом 2πi: . В силу периодичности комплексная экспонента бесконечнолистна. В качестве её области однолистности можно выбрать любую горизонтальную полосу высотой .
      • Алгебраически, экспонента от комплексного аргумента может быть определена следующим образом: (формула Эйлера)
      • В частности, имеет место (тождество Эйлера),

      Вариации и обобщения

      Аналогично экспонента определяется для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.

      Матричная экспонента

      Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд:

      Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы Следовательно, экспонента от матрицы всегда определена и сама является матрицей.

      С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение с начальным условием имеет своим решением

      Обратная функция

      Обратной функцией к экспоненциальной функции является натуральный логарифм. Обозначается :

      См. также

      Литература

      • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
      • Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.
      Читайте также:  Почему компьютер не видит hdd диск

      Wikimedia Foundation . 2010 .

      Смотреть что такое "Экспонента" в других словарях:

      ЭКСПОНЕНТА — (от лат. exponens показывающий) то же, что показательная кривая или (экспоненциальная) показательная функция … Большой Энциклопедический словарь

      ЭКСПОНЕНТА — ЭКСПОНЕНТА, число, обозначающее степень, которое пишется в виде верхнего индекса справа от цифры или символа. Например, в выражении а4=(а3а3а3а) экспонентой является 4. Операции с экспонентами подчиняются некоторым законам. Например, З23З5=3(2+5) … Научно-технический энциклопедический словарь

      экспонента — сущ., кол во синонимов: 1 • кривая (56) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

      Экспонента — [exponent] показательная функция с основанием, равным иррациональному числу e, т.е. ex. Если показатель Э., еp(x) содержит сложные выражения, используется запись вида ep(x) = exp . Скорость изменения этой функции в точности равна ей самой … Экономико-математический словарь

      экспонента — Показательная функция с основанием, равным иррациональному числу e, т.е. ex. Если показатель Э., еp(x) содержит сложные выражения, используется запись вида ep(x) = exp . Скорость изменения этой функции в точности равна ей самой . Число e… … Справочник технического переводчика

      ЭКСПОНЕНТА — (экспоненциальная функция) то же, что показательная функция с основанием, равным числу (см.), задаваемая формулой у = е1. Иногда обозначается ехр дг. Экспоненциальная кривая на плоскости является графиком экспоненты, которая встречается в… … Большая политехническая энциклопедия

      экспонента — (от лат. exponens показывающий), то же, что показательная кривая или (экспоненциальная) показательная функция. * * * ЭКСПОНЕНТА ЭКСПОНЕНТА (от лат. exponens показывающий), то же, что показательная кривая (см. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ КРИВАЯ) или… … Энциклопедический словарь

      экспонента — см. зкспоненциальная функция. Новый словарь иностранных слов. by EdwART, , 2009. экспонента ы, ж. ( … Словарь иностранных слов русского языка

      экспонента — eksponentė statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. exponent vok. Exponente, f rus. экспонента, f pranc. exponentielle, f … Automatikos terminų žodynas

      экспонента — eksponentė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. exponent vok. Exponente, f rus. экспонента, f pranc. exponentielle, f … Fizikos terminų žodynas

      Определение

      Экспоненту обозначают так , или .

      Число e

      Основанием степени экспоненты является число e . Это иррациональное число. Оно примерно равно
      е ≈ 2,718281828459045.

      Число e определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел:
      .

      Также число e можно представить в виде ряда:
      .

      График экспоненты

      На графике представлена экспонента, е в степени х.
      y ( x ) = е х
      На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.

      Формулы

      Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е .

      Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a через экспоненту:
      .

      Читайте также:  Размеры телевизоров в сантиметрах ширина высота таблица

      Частные значения

      Пусть y ( x ) = e x . Тогда
      .

      Свойства экспоненты

      Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .

      Область определения, множество значений

      Экспонента y ( x ) = e x определена для всех x .
      Ее область определения:
      – ∞ .
      Ее множество значений:
      0 .

      Экстремумы, возрастание, убывание

      Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

      y = е х
      Область определения – ∞
      Область значений
      Монотонность монотонно возрастает
      Нули, y = 0 нет
      Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 1
      + ∞

      Обратная функция

      Производная экспоненты

      Производная е в степени х равна е в степени х:
      .
      Производная n-го порядка:
      .
      Вывод формул > > >

      Интеграл

      Комплексные числа

      Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера:
      ,
      где есть мнимая единица:
      .

      Выражения через гиперболические функции

      Выражения через тригонометрические функции

      Разложение в степенной ряд

      Использованная литература:
      И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

      Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 25-02-2014 Изменено: 09-06-2018

      Экспонента (экспоненциальная функция) — это математическая функция вида y = e×, или у = exp(x), или у = Exp(x) (где основанием степени является число е).

      е — это число Эйлера, у него бесконечное количество цифр после запятой, оно трансцендентное и иррациональное. Оно равно округлённо 2,72 (а полностью — 2,718281828459045. ).

      Трансцендентным число называется, если оно не удовлетворяет ни одному алгебраическому уравнению. Иррациональным — если его нельзя представить в виде дроби m/n, где n не равно 0.

      Несмотря на свою бесконечность, число е является константой. То есть значением, которое никогда не изменяется.

      Показательная функция — это математическая функция вида y = a×.

      График экспоненты выглядит следующим образом:

      Для чего используется экспонента?

      Экспонента применяется и в физике, и в технике, и в экономике, особенно при решении задач, связанных с процентами.

      Экспоненциальный рост

      Мы используем термин экспоненциальный рост, чтобы сказать о стремительном росте чего-либо. Словосочетание чаще всего употребляется по отношению к росту популяции людей или животных/птиц.

      Что такое второй замечательный предел

      Швейцарский математик Якоб Бернулли (1655–1705 гг.) вывел число е, когда пытался решить финансовый вопрос. В частности, он пытался понять, как должны начисляться проценты на сумму вклада в банке, чтобы это было наиболее прибыльно для владельца денег.

      Он также пытался понять, есть ли лимит у дохода, получаемого в процентах, или он будет увеличиваться бесконечно.

      Решая эту задачу, он использовал предел последовательности, а именно второй замечательный предел. Формулу для вычисления числа е можно записать следующим образом (где n — это число, стремящееся к бесконечности):

      То есть числу е равняется предел, где n стремится к бесконечности, от 1, плюс 1, разделённый на n, и всё возвести в степень n.

      Читайте также:  Недорогие электронные книги рейтинг

      Если подставить в данную формулу вместо n какую-нибудь очень большую цифру, можно получить очень хорошее приближение к е.
      Например, подставим 1.000.000 и посчитаем на калькуляторе:

      (1 + 1/1000000) ^ 1000000 = 2.7182804691

      Как видите, с n = 1.000.000 мы получили достаточно хорошее приближение, с правильными 5 знаками после запятой.

      Как определить число е?

      Помимо второго замечательного предела, существуют и другие способы для определения числа е:

      • через сумму ряда;
      • через формулу Муавра — Стирлинга;
      • другие.

      Сумма ряда

      Существует мнение, что этот метод использовал сам Эйлер, когда высчитывал е.

      Можно получить приближение е, рассчитав первые 7 частей этой суммы:

      И эти вычисления дали нам следующий результат:

      Этот метод дал нам точных 4 знака после запятой, и его достаточно легко запомнить.

      Формула Муавра — Стирлинга

      Также называется просто формула Стирлинга:

      И в этом случае чем больше n, тем точнее будет результат.

      Как запомнить число е

      Можно легко запомнить 9 знаков после запятой, если заметить удивительную закономерность: после "2,7" число "1828" появляется дважды (2,7 1828 1828). В 1828 году родились Лев Толстой и Жюль Верн, а Франц Шуберт умер.

      Хотите дальше? Можно и дальше! 15 знаков после запятой! Последующие цифры — это градусы углов в равнобедренном прямоугольном треугольнике ( 45°, 90°, 45°): 2,7 1828 1828 45 90 45.

      Интересные факты

      Экспоненциальную функцию также называют экспонента.

      Показательная функция — это функция вида y=a×, где a — заданное число (основание), x — это переменная.

      А если основание = е, с переменной x, то математически логарифм записывается как ln, а не как log. И его называют натуральный логарифм (логарифм с основанием е):

      Логарифмическая функция, что обратная к показательной функции y = a×, a > 0, a≠1, пишется как .

      Производная и первообразная экспоненциальной функции равны ей самой, т. е. (e×)’ = e×, но (a×)’ = (a×)*ln(a).

      Якобу Бернулли в расчётах помогал его брат Иоганн. Один из кратеров на Луне носит их имя.

      Число Непера и число Эйлера

      Число Непера или Неперово число, число Эйлера — это названия для одного и того же числа е.

      Шотландский математик Джон Непер придумал логарифмы. Так как число е является основанием натурального логарифма (ln x), то этому числу присвоили имя математика из Шотландии. Хотя Непер и не вычислял его.

      Сам символ e был придуман в 1731 году швейцарским математиком Леонардом Эйлером. Эйлер занимался вычислениями алгоритмов и вывел его основание. А точнее основание натурального логарифма, которым и является число е.

      Изобретение логарифмов в XVII веке (1614 год) шотландским математиком Джоном Непером стало одним из важнейших событий в истории математики.

      Узнайте также, что такое Число Пи и Логарифм.

      Ссылка на основную публикацию
      Что такое адрес сервера на телефоне
      Блог о модемах, роутерах и gpon ont терминалах. Частенько пользователи планшетов и смартфонов на Андроид сталкиваются с тем, что подключившись...
      Что значит загрузочная флешка
      Что такое загрузочная флешка / 8 способов создать загрузочную флешку Что такое загрузочная флешка / 8 способов создать загрузочную флешку...
      Что значит заблокировать сообщение в телефоне
      Текстовые сообщения очень удобны – ведь с их помощью вы можете получить информацию от другого абонента даже в тот момент,...
      Что такое аккумулятор слайдер
      Кроме достоинств, у литий-ионных аккумуляторов имеется немало минусов: Не выносят перезаряда. Подача тока на элемент питания должна быть прекращена, когда...
      Adblock detector