Являются ли векторы компланарными

Являются ли векторы компланарными

Единого обозначения компланарность не имеет.

Свойства компланарности

Пусть — векторы пространства . Тогда верны следующие утверждения:

  • Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.
  • Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
  • Смешанное произведение компланарных векторов . Это — критерий компланарности трёх векторов.
  • Компланарные векторы — линейно зависимы. Это — тоже критерий компланарности.
  • Существуют действительные числа такие, что для компланарных , за исключением случаев или . Это — переформулировка предыдущего свойства и тоже критерий компланарности.
  • В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора образуют базис. То есть любой вектор можно представить в виде: . Тогда будут координатами в данном базисе.

Другие объекты

Выше описанные критерии компланарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле (а, например, как элементы произвольного векторного пространства).

Иногда компланарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной плоскости. 3 точки определяют плоскость и, тем самым, всегда (тривиально) компланарны. 4 точки, в общем случае (в общем положении), не компланарны.

Можно распространить понятие компланарности и на прямые в пространстве. Тогда параллельные или пересекающиеся прямые будут компланарны, а скрещивающиеся прямые — нет.

Определение. Три вектора, параллельные одной плоскости или лежащие в одной плоскости, называются компланарными.

Пусть три вектора а, b, с компланарны. Не ограничивая общности, можно считать, что эти векторы лежат в одной плоскости.

В этом случае вектор будет перпендикулярен этой плоскости и, следовательно, перпендикулярен вектору с, поэтому скалярное произведение

Следовательно, смешанное произведение компланарных векторов равно нулю.

Обратно, если смешанное произведение , то векторы а, b, с компланарны.

Действительно, если бы эти векторы были бы не компланарны, то на них можно было бы построить параллелепипед с объемом . Но так как , то отсюда следовало бы, вопреки предположению, что .

Читайте также:  Пятьдесят восемь тысяч рублей 00 копеек

Итак, для того чтобы три вектора а, b, с были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю, т. е.

Рассмотрим теперь примеры на применение смешанного произведения векторов.

Пример 1. Показать, что векторы компланарны.

Решение. Составляем смешанное произведение этих векторов:

Так как смешанное произведение оказалось равным нулю, то, следовательно, векторы компланарны.

Пример 2. Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках .

Решение. Рассмотрим векторы

Из элементарной геометрии известно, что объем пирамиды, построенной на ребрах ОЛ, ОВ и ОС, равен объема параллелепипеда, построенного на тех же ребрах.

(при вычислении определителя мы воспользовались разложением по элементам третьего столбца).

Ссылка на основную публикацию
Электронная почта администрации президента рф
Нередко жизненные обстоятельства так закручивают людей, что за помощью и защитой приходится обращаться к самому президенту России. В этом материале...
Что такое адрес сервера на телефоне
Блог о модемах, роутерах и gpon ont терминалах. Частенько пользователи планшетов и смартфонов на Андроид сталкиваются с тем, что подключившись...
Что такое аккумулятор слайдер
Кроме достоинств, у литий-ионных аккумуляторов имеется немало минусов: Не выносят перезаряда. Подача тока на элемент питания должна быть прекращена, когда...
Электронная почта для рассылки писем
Если вы предоставляете свои услуги или продаете товары в интернете, то с вероятностью 100% вы контактируете со своими клиентами либо...
Adblock detector