Якобиан перехода к полярным координатам

Якобиан перехода к полярным координатам

Администратор
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определитель матрицы Якоби:

det ( ∂ u 1 ∂ x 1 ( x ) ∂ u 1 ∂ x 2 ( x ) ⋯ ∂ u 1 ∂ x n ( x ) ∂ u 2 ∂ x 1 ( x ) ∂ u 2 ∂ x 2 ( x ) ⋯ ∂ u 2 ∂ x n ( x ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ∂ u n ∂ x 1 ( x ) ∂ u n ∂ x 2 ( x ) ⋯ ∂ u n ∂ x n ( x ) ) <displaystyle det <egin <partial u_<1>over partial x_<1>>(x)& <partial u_<1>over partial x_<2>>(x)&cdots & <partial u_<1>over partial x_>(x)\ <partial u_<2>over partial x_<1>>(x)& <partial u_<2>over partial x_<2>>(x)&cdots & <partial u_<2>over partial x_>(x)\cdots &cdots &cdots &cdots \ <partial u_over partial x_<1>>(x)& <partial u_over partial x_<2>>(x)&cdots & <partial u_over partial x_>(x)end>>

для векторной функции u : R n → R n , u = ( u 1 , … , u n ) , u i = u i ( x 1 , … , x n ) , i = 1 , … , n , <displaystyle mathbf :mathbb ^ o mathbb ^,mathbf =(u_<1>,ldots ,u_),u_=u_(x_<1>,ldots ,x_),i=1,ldots ,n,> имеющей в некоторой точке x <displaystyle x> все частные производные первого порядка (определитель Якоби или якобиан системы функций u 1 , … , u n <displaystyle u_<1>,ldots ,u_> ).

Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель. [ источник не указан 3744 дня ] По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю [1] .

  • Часто используются следующие обозначения якобиана:

D ( u 1 , … , u n ) D ( x 1 , … , x n ) <displaystyle <frac <1>,dots ,u_)><1>,dots ,x_)>>>,или ∂ ( u 1 , … , u n ) ∂ ( x 1 , … , x n ) <displaystyle <frac <partial (u_<1>,dots ,u_)><partial (x_<1>,dots ,x_)>>>

Содержание

Геометрическая интерпретация [ править | править код ]

1 ( x 1 , … , x n ) , … , x

n ( x 1 , … , x n ) <displaystyle < ilde >_<1>(x_<1>,dots ,x_),ldots ,< ilde >_(x_<1>,dots ,x_)> определяют преобразование координат x i → x

j <displaystyle x_
ightarrow < ilde >_> , то смысл определителя Якоби состоит в отношении объёмов [2] «элементарных параллелепипедов», натянутых на d x

n = d x 1 d x 2 … d x n <displaystyle d< ilde >_<1>d< ilde >_<2>dots d< ilde >_=dx_<1>dx_<2>dots dx_> .

Применение [ править | править код ]

  • Якобиан часто применяется при анализе неявных функций
  • Неравенство определителя Якоби нулю служит удобным необходимым и достаточным условием локальной невырожденности преобразования координат, то есть означает, что в окрестности рассматриваемой точки это преобразование является диффеоморфизмом.
  • Интеграл по области при невырожденном преобразовании координат x

j → x i <displaystyle < ilde >_
ightarrow x_> преобразуется как ∫ Ω

1 ( x 1 , x 2 , … , x n ) , x

2 ( x 1 , x 2 , … , x n ) , … , x

n ( x 1 , x 2 , … , x n ) ) | D ( x

n ) D ( x 1 , x 2 , … , x n ) | d x 1 d x 2 … d x n <displaystyle =int limits _<Omega >f(< ilde >_<1>(x_<1>,x_<2>,dots ,x_),< ilde >_<2>(x_<1>,x_<2>,dots ,x_),dots ,< ilde >_(x_<1>,x_<2>,dots ,x_))<igg |><frac >_<1>,< ilde >_<2>,dots ,< ilde >_)><1>,x_<2>,dots ,x_)>><igg |>dx_<1>dx_<2>dots dx_>(формула замены переменных в n-мерном интеграле).

Примеры [ править | править код ]

Пример 1. Переход элементарной площади d S = d x d y <displaystyle mathrm S=mathrm x,mathrm y> от декартовых координат (x, y) к полярным координатам (r, φ):

x = r cos ⁡ φ <displaystyle x=r,cos varphi > y = r sin ⁡ φ . <displaystyle y=r,sin varphi .>

Матрица Якоби имеет следующий вид

I ^ ( r , φ ) = [ ∂ x ∂ r ∂ x ∂ φ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ φ ] = [ cos ⁡ φ − r sin ⁡ φ sin ⁡ φ r cos ⁡ φ ] . <displaystyle <hat >(r,varphi )=<egin<dfrac <partial x><partial r>>&<dfrac <partial x><partial varphi >>\[3pt]<dfrac <partial y><partial r>>&<dfrac <partial y><partial varphi >>\end>=<egincos varphi &-r,sin varphi \sin varphi &r,cos varphi end>.>

Читайте также:  Как увеличить масштаб слоя в фотошопе

А якобиан перехода от декартовых координат к полярным — есть определитель матрицы Якоби:

J ( r , φ ) = det I ^ ( r , φ ) = det [ cos ⁡ φ − r sin ⁡ φ sin ⁡ φ r cos ⁡ φ ] = r . <displaystyle J(r,varphi )=det <hat >(r,varphi )=det <egincos varphi &-r,sin varphi \sin varphi &r,cos varphi end>=r.>

Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых к полярным координатам будет выглядеть следующим образом:

d S = d x d y = J ( r , φ ) d r d φ = r d r d φ <displaystyle mathrm S=mathrm x,mathrm y=J(r,varphi ),mathrm r,mathrm varphi =r,,mathrm r,mathrm varphi >

Пример 2. Переход элементарного объёма d V = d x d y d z <displaystyle mathrm V=mathrm x,mathrm y,mathrm z> от декартовых координат (x, y, z) к сферическим координатам (r, θ, φ) :

x = r sin ⁡ θ cos ⁡ φ <displaystyle x=r,sin heta ,cos varphi > y = r sin ⁡ θ sin ⁡ φ <displaystyle y=r,sin heta ,sin varphi > z = r cos ⁡ θ . <displaystyle z=r,cos heta .>

Матрица Якоби имеет следующий вид

I ^ ( r , θ , φ ) = [ ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ x ∂ φ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ ∂ y ∂ φ ∂ z ∂ r ∂ z ∂ θ ∂ z ∂ φ ] = [ sin ⁡ θ cos ⁡ φ r cos ⁡ θ cos ⁡ φ − r sin ⁡ θ sin ⁡ φ sin ⁡ θ sin ⁡ φ r cos ⁡ θ sin ⁡ φ r sin ⁡ θ cos ⁡ φ cos ⁡ θ − r sin ⁡ θ 0 ] . <displaystyle <hat >(r, heta ,varphi )=<egin<dfrac <partial x><partial r>>&<dfrac <partial x><partial heta >>&<dfrac <partial x><partial varphi >>\[3pt]<dfrac <partial y><partial r>>&<dfrac <partial y><partial heta >>&<dfrac <partial y><partial varphi >>\[3pt]<dfrac <partial z><partial r>>&<dfrac <partial z><partial heta >>&<dfrac <partial z><partial varphi >>\end>=<eginsin heta ,cos varphi &r,cos heta ,cos varphi &-r,sin heta ,sin varphi \sin heta ,sin varphi &r,cos heta ,sin varphi &r,sin heta ,cos varphi \cos heta &-r,sin heta &0end>.>

А якобиан перехода от декартовых координат к сферическим — есть определитель матрицы Якоби:

J ( r , θ , φ ) = det I ^ ( r , θ , φ ) = det [ sin ⁡ θ cos ⁡ φ r cos ⁡ θ cos ⁡ φ − r sin ⁡ θ sin ⁡ φ sin ⁡ θ sin ⁡ φ r cos ⁡ θ sin ⁡ φ r sin ⁡ θ cos ⁡ φ cos ⁡ θ − r sin ⁡ θ 0 ] = r 2 sin ⁡ θ . <displaystyle J(r, heta ,varphi )=det <hat >(r, heta ,varphi )=det <eginsin heta ,cos varphi &r,cos heta ,cos varphi &-r,sin heta ,sin varphi \sin heta ,sin varphi &r,cos heta ,sin varphi &r,sin heta ,cos varphi \cos heta &-r,sin heta &0end>=r^<2>sin heta .>

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

d V = d x d y d z = J ( r , θ , φ ) d r d θ d φ = r 2 sin ⁡ θ d r d θ d φ <displaystyle mathrm V=mathrm x,mathrm y,mathrm z=J(r, heta ,varphi ),mathrm r,mathrm heta ,mathrm varphi =r^<2>sin heta ,,mathrm r,mathrm heta ,mathrm varphi >

Что значит вычислить двойной интеграл в полярных координатах?

Если область интегрирования представляет собой окружность или часть окружности, двойной интеграл проще вычислить не в декартовых прямоугольных координатах, а в полярных координатах. В этом случае подынтегральная функция выражается как функция полярных переменных r и φ с использованием соотношений между полярными и декартовыми координатами x = rcosφ и y = rsinφ :

.

Что представляет собой элемент площади dxdy , выраженный в полярных координатах? Для ответ на этот вопрос разделим область интегрирования D на участки линиями окружности r = const и лучами φ = const . Рассмотрим один частичный участок (заштрихованный на рисунке), который ограничивают лучи, образующие с полярной осью углы φ и φ + и линии окружности с радиусом r и r + dr . Этот криволинейный четырёхугольник можем приближенно считать прямоугольником с длиной боковой стороны dr и длиной основания rdφ . Поэтому элемент площади в полярных координатах выражается следующим образом:

Читайте также:  Бэкап ms sql server

а двойной интеграл в полярных координатах записывается так:

.

Чтобы вычислить двойной интеграл в полярных координатах, его нужно выразить через повторные интегралы, так же, как и "обычный" двойной интеграл в декартовых прямоугольных координатах. В полярных координатах внешний интеграл всегда интегрируется по углу φ , а внутренний — по радиусу r .

Вычислить двойной интеграл в полярных координатах — значит, как и в декартовых прямоугольных координатах, найти число, равное площади упомянутой фигуры D .

Пределы интегрирования в повторных интегралах

При переходе от двойного интеграла в полярных координатах к повторным интегралам расстановку пределов интегрирования могут облегчить следующие закономерности.

Случай первый

Полюс O является внутренней точкой области интегрирования D , область ограничена линией r = r(φ) .

Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны 0 и 2π , а внутреннего интеграла — 0 и r(φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

.

Случай второй

Полюс O находится на границе области интегрирования D , ограниченного линией r = r(φ) , но не является угловой точкой.

Через полюс O проведём касательную. Пусть касательная образует с полярной осью угол α . Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и π + α , а внутреннего интеграла — 0 и r(φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

.

Случай третий

Полюс O находится на границе области интегрирования D , ограниченного линией r = r(φ) , и является угловой точкой.

Из полюса O проведём лучи, которые будут ограничивать область D . Пусть эти лучи образуют с полярной осью углы α и β . Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и β , а внутреннего интеграла — 0 и r(φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

.

Случай четвёртый

Полюс O находится вне области интегрирования D .

Из полюса O проведём лучи, которые будут ограничивать область D . Пусть эти лучи образуют с полярной осью углы α и β , а область D ограничивают линии r = r 1 (φ) и r = r 2 (φ) . Тогда соответственно нижний и верхний пределы интегрирования внешнего интеграла равны α и β , а внутреннего интеграла — r 1 (φ) и r 2 (φ) . Переход к повторным интегралам осуществляется следующим образом:

.

Решения двойных интегралов в полярных координатах: примеры

Пример 1. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл

,

где область D ограничена линиями , , .

Решение. Строим на чертеже область интегрирования. Видим, что этот пример относится к третьему случаю из вышеописанных четырёх случаев расположения области интегрирования.

Читайте также:  Используя операторы цикла составить таблицу значений функции

Выразим подынтегральную функцию как функцию полярных переменных:

.

Данные в условии линии, ограничивающие D , приводим к полярным координатам:

Переходим от двойного интеграла к повторному, учитывая пределы интегрирования, верные в третьем случае:

.

Вычисляем интеграл (так как повторные интегралы независимы друг от друга, каждый из них вычисляем отдельно и результаты перемножаем):

Пример 2. В повторном интеграле

перейти к полярной системе координат.

Решение. В повторном интеграле переменная x изменяется от -1 до 1, а переменная y — от параболы x² до 1. Таким образом, область интегрирования снизу ограничена параболой y = x² , а сверху — прямой y = 1 . Область интегирования изображена на следующем чертеже.

При переходе к полярным координатам область интегрирования нужно разделить на три части. Значит, данный повторный интеграл должен быть вычислен как сумма трёх интегралов. В первой области полярный радиус меняется от 0 до параболы, во второй области — от 0 до прямой y = 1 , в третьей области — от 0 до параболы. Точки пересечения прямой y = 1 и параболы: (1; 1) и (−1; 1) . В первой точке полярный угол составляет , во второй точке он составляет . Поэтому в первой области φ меняется от от 0 до , во второй области — от 0 до , в третьей области — от до π .

Запишем линии, ограничивающие область интегрирования в полярной системе координат. Найдём уравнение прямой y = 1 : или . Найдём уравнение параболы y = x² в полярной системе координат:

Теперь у нас есть всё, чтобы от данного повторного интеграла перейти к полярным координатам:

Пример 3. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл

,

где область D ограничена линией окружности .

Решение. Строим на чертеже область интегрирования.

Область интегрирования ограничивает линия окружности с центром в точке (a; 0) и радиусом a . В этом легко убедиться, преобразовав её уравнение следующим образом:

.

Линия окружности касается оси Oy , поэтому полярный угол в области интегрирования меняется от до . Подставим и в уравнение окружности и получим

Напишем подынтегральную функцию в полярных координатах:

.

Теперь можем перейти в данном двойном интеграле к полярным координатам:

Наконец, находим двойной интеграл в полярных координатах:

В полученном выражении второе слагаемое равно нулю, так как и sinπ , и sin(−π) равны нулю. Продолжая, получаем:

Пример 4. Вычислить плоской фигуры, которую ограничивают линии , , , .

Решение. Построим заданную фигуру на следующем рисунке.

Так как фигура является частью круга, её площадь проще вычислить в полярных координатах. Данные уравнения линий перепишем в полярных координатах:

Таким образом, у нас есть всё, чтобы записать площадь фигуры в виде двойного интеграл в полярных координатах, перейти к повторному интегралу и вычислить его:

Пример 5. Вычислить в полярных координатах двойной интеграл

,

где область D ограничена линиями и .

Решение. Преобразуем данные уравнения линий, чтобы было проще построить чертёж:

.

Строим на чертеже область интегрирования.

В данных уравнениях линий перейдём к полярным координатам:

.

В данном двойном интеграле перейдём к полярным координатам, затем к повторным интегралам и вычислим интеграл:

Ссылка на основную публикацию
Электронная почта администрации президента рф
Нередко жизненные обстоятельства так закручивают людей, что за помощью и защитой приходится обращаться к самому президенту России. В этом материале...
Что такое адрес сервера на телефоне
Блог о модемах, роутерах и gpon ont терминалах. Частенько пользователи планшетов и смартфонов на Андроид сталкиваются с тем, что подключившись...
Что такое аккумулятор слайдер
Кроме достоинств, у литий-ионных аккумуляторов имеется немало минусов: Не выносят перезаряда. Подача тока на элемент питания должна быть прекращена, когда...
Электронная почта для рассылки писем
Если вы предоставляете свои услуги или продаете товары в интернете, то с вероятностью 100% вы контактируете со своими клиентами либо...
Adblock detector