Что такое ноль в математике

Что такое ноль в математике

Откуда взялась «пустая» цифра?

История появления нуля скрыта множеством тайн и загадок. Исследователи полагают, что эта цифра вводилась древними математиками разных эпох и цивилизаций. Но, не осознавая всю ее важность, ученые отказывались от нее. По данным историков ноль был известен еще в Вавилоне в 1700-1000 гг. до н.э., хотя более точной считается информация, что ноль придумали индийские математики за 600 лет до н.э. В Европе же удобная система арабских чисел с нулем появилась лишь в XIII веке, где ранее любые числа, вплоть до сотен и тысяч, обозначались громоздким набором латинских букв.

Эзотерический символизм нуля

Изучение древних трактатов, а также аналитических размышлений Е. П. Блаватской приводит к тому, что ноль нельзя понимать просто, как математическую цифру. Древние ассоциировали его с первозданной пустотой, не имеющей параметров, границ и величины – поистине идеальный параметр для описания абстрактных пространств, к чему впоследствии пришли математики XVII-XVIII веков. В ноль вкладывается принцип зарождения любых вещей, из чего идет мысль, что эта цифра возникла не для определения многократности других цифр, а наоборот, сама породила их. Ноль – это всеобъемлющая пустота, которая принимает форму величины лишь, следуя за какой-то цифрой, показывающей мощь этой «не-цифры».

Ноль в математике и физике

Хотя физика с математикой тесно связаны, понятие нуля здесь весьма четко разграничено, и практически не имеет точек соприкосновения. В физике ноль является точкой отсчета, главным образом, определяющей пространство какого-либо реально существующего параметра, примером чего является температурная шкала. Однако современные физики, изучающие теорию струн, астрофизику и глубинные принципы теории относительности, приходят к понятиям сингулярности и узлов Вселенной, где ноль является принципиально важным параметром.

В математике же ноль – это не просто начало многомерных декартовых, сферических, полярных и других систем координат, это уход в пространство отрицательных чисел, которые не способны характеризовать физические явления. Более того, парадоксы, связанные с невозможностью деления любых чисел на ноль, определяются, как методы исследования абстрактных множеств. В математическом анализе деление на ноль – это не табу, это бесконечность, которая может быть преобразована теорией пределов и описана различными Фурье-образами. Однако деление нуля самого на себя, как и деление бесконечностей – это все еще неопределенность.

Правильно «нОль» или «нУль»?

Сейчас принято говорить и «ноль» и «нуль», хотя в учебниках математики чаще встречается именно «нуль». Это связано с латинским термином «nullus», обозначающим «никакой». Между тем, интересно, что индийцы для описания этой цифры использовали слово «свободный», а вовсе не «никакой» или «пустой», что может стать незаурядным поводом к философским размышлениям.

Попробуем делить на ноль и узнаем больше об истории и свойствах числа, расположенного ровно посередине числовой оси.

Ноль — это, пожалуй, первое в нашей жизни загадочное число. Мы много слышали, например, о чудесах числа Пи, но мало кто имеет с ним дело в повседневной жизни. Не говоря уже о комплексных числах. А вот с нолём мы сталкиваемся повсюду: даже на клавиатуре обозначающая его цифра завершает ряд.

Но любой понимает, что с этим числом не всё в порядке. В детстве, когда мы ещё думали, что арифметика нужна только для счёта, нам объясняли, что ноль — это отсутствие. И это было странно.

Читайте также :

Поэтому и в истории человечества это число появилось поздно. Торговцы активно использовали счёт, но продавать, например, «ноль овец» не имело смысла. Впрочем, как и отрицательное их количество.

Вышло любопытно: например, древние греки не использовали ноль в принципе, зато уже знали об иррациональных числах, таких как √2. Это было связано с их любовью к геометрии: если у прямоугольного треугольника стороны будут равны 1, длина гипотенузы вычисляется как √2.

Но как же десятеричная система счёта? Ведь даже чтобы записать «10», нам нужен ноль. Но здесь дело только в записи числа: если вы вспомните римские цифры, то поймёте, что десятку можно представить и как Х. Конечно, такая форма была не особенно удобной, но даже вавилоняне, пользовавшиеся позиционной системой счисления (то есть, близкой нашей, а не древнеримской), долго обходились без ноля. Некоторое время его просто не было: числа, скажем, 36 и 306 не различались по написанию и определялись по контексту. Потом его роль стали выполнять два клинышка, вроде вот этих: 3’’6. Но и тогда они самостоятельной роли не играли — не было числа «ноль».

Сложно сказать, когда оно в действительности появилось. При этом есть свидетельства, что в Индии его использовали еще до нашей эры, после чего его переняли арабы — а вот на Западе оно стало входить в практику только в XIII веке усилиями итальянского математика Леонарда Фибоначчи. И то, его любовь к арабскому счислению долго не воспринималась всерьёз.

Известно, что первые слова, обозначавшие количество, имели конкретное применение — «пять лошадей» и «пять лодок» были для древнего человека разными категориями. Чтобы изобрести ноль, требовалось перейти на новый уровень абстрактного мышления.

Читайте также:  Как поменять кран на батарее отопления

Но если мы поверим в ноль, его свойства поразят воображение.

Возвести в нулевую степень

Ещё по этой теме :

С самыми простыми операциями проблем не возникает: прибавить ноль или вычесть его из числа — число остаётся тем же, умножить на ноль — получится ноль… Всё это укладывается в рамки здравого смысла. Сложнее становится при возведении в нулевую степень. В школе сообщают, что результатом в каждом случае будет единица. Откуда она взялась?

Тут рассудок уже пасует. Степень — это, как известно, то, сколько раз мы берём число как множитель самого себя.

Если степень нулевая, число не является множителем ни разу, но… как из этой пустоты «родилась» единица?

Чаще всего в школе этот вопрос решается догматически: на объяснения не остаётся желания и сил. А ведь именно здесь пролегает одна из границ, за которой простая арифметика, наглядно показываемая на яблоках и прочих исчислимых вещах, становится уже чистой и прекрасной абстракцией.

Вспомним правила обращения с числами, возводимыми в степень, и представим себе следующий пример:

В отношениях с одинаковыми основаниями степеней мы можем делать следующее:

Так вот чудесным образом, благодаря только принятию ноля как числа, мы переходим к новому странному открытию, и математика совершает куда более далёкий прыжок от реальности, чем просто представление «у меня ноль конфет».

Но именно внутренняя логика системы, которая может быть понята умом, но не может быть представлена в вещественном мире — это и есть красота абстракции.

Поделить на ноль

Это может быть интересно :

«Деление на ноль» давно стало интернет-мемом, правда, довольно неопределённым. То оно означает аннигиляцию чего бы то ни было (а ведь логичнее было бы умножить на ноль), то вовсе разрушение математических основ мироздания. И второе ближе к истине.

Большинство учёных всё-таки считают эту операцию с нолём невозможной или обладающей неопределённым результатом.

Можете сами провести эксперимент, испытав подручные калькуляторы. Например, телефон на Android у автора материала дал ответ «1 / 0 = ∞», а Windows 10 выдал ошибку: «Деление на ноль невозможно». Большинство других калькуляторов ведёт себя так же. Зато в первом случае можно поменять знак, и мы получим странную картину: «-1 / 0 = -∞».

В чём же дело, и почему даже машины не могут между собой «договориться»?

Чисто арифметически делимость на ноль приводит к рискованным выводам. Смотрите сами:

Это лишь известное нам свойство ноля. Но если на него можно делить, то, сократив обе части, мы получим:

Почему же речь иногда заходит о бесконечности? Дело в том, что проблему пытаются решить через деление на бесконечно малую функцию, то есть построение графика функции, где x стремился бы к нулю. Так мы пытаемся найти y = 1 / x, и получается следующее:

И вот он, наш результат деления на ноль, который уходит в -∞ с одной стороны и +∞ с другой. Чем же не устраивает этот ответ большинство учёных? Тем, что бесконечность не может быть названа числом: обычные арифметические операции с ней приводят, опять-таки, к парадоксальным выводам. Хоть на ней и построен математический анализ, она является идеей, а не числом.

Кстати говоря, с делением ноля на ноль наблюдается ещё большее единодушие: тут, если мы соберёмся построить функцию, результаты могут быть практически какими угодно (0, ±1, ±∞…) В общем, ноль, оставаясь числом, снова подрывает основы математики, если мы нарушаем неприкосновенность его свойств.

Ноль — чётное число?

Это может быть интересно :

Если он так необычен (и не забываем, что он не является ни положительным, ни отрицательным), можно ли говорить о его чётности? Интуитивно мы догадываемся, что он чётный, ведь целые числа сменяют друг друга именно по такому принципу: 2 — чётное, 1 — нечётное, следующим должно быть снова чётное. Но странность ноля настораживает, подсказывает, что и в этом вопросе нужно держать ухо востро.

Какое главное требование он должен пройти в этом случае? Деление на двойку без остатка, и он выдерживает испытание с достоинством: 0/2=0. Получается целое число 0, причём сколько бы мы ни продолжали деление, результат будет получаться одинаковым — можно сказать, что он является «наиболее» чётным или «бесконечно» чётным числом.

Если быть более точным, мы должны взять другое определение с обратной операцией. Чётное число может быть представлено в виде 2x, где x — целое число, но и в таком случае всё просто: 0 = 2 ∙ 0.

Есть и такое свойство чётных чисел, что при сложении двух из них должно получаться снова чётное, проверим:

При всей необычности ноля даже его удивительное соответствие всем критериям кажется странным, не так ли?

Что смотреть и читать о ноле?

Чтобы узнать больше о ноле как одном из самых загадочных явлений математики, а также об истории его «открытия», вы можете обратиться к следующим ресурсам:

Читайте также:  Настройка роутера di 524

1. Numberphile. Это популярнейший в среде любителей математики Youtube-канал, у которого уже более чем 1,5 миллиона подписчиков. Есть видео и о ноле, которые в переводе на русский можно найти здесь.

2. Книга Чарльза Сейфе «Ноль. Биография опасной идеи». Автор, хоть и не без излишнего сгущения красок, рассказывает об истории ноля как числа и цифры — причем в обширном контексте истории науки, от Архимеда до теории струн. В качестве бонуса вы получите приложения с задачками, где используется ноль. Например, вам предложат доказать, что Уинстон Черчилль был морковкой, и построить машину времени из кротовой норы.

3. Сборник эссе, в которых фантаст Айзек Азимов рассказывает о том, как человек, переходя от счёта на пальцах ко всё более сложным вычислениям, разработал основные математические операции, а также о том, как числа связаны с нашим восприятием времени и пространства. Природе ноля и его парадоксам посвящена открывающая книгу статья "Nothing Counts".

Даже если вам не нравились в школе ни арифметика, ни алгебра, у вас всегда есть возможность ими заинтересоваться. Учить математику с нуля уже не получится — худо-бедно мы начали считать ещё дошколятами. А вот полюбить её с нуля — вполне реальная перспектива.

1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ЦИФРЫ 0. РОЛЬ НУЛЯ В МАТЕМАТИКЕ. 4

2. ИНТЕРЕСНЫЕ ФАКТЫ О ЦИФРЕ 0. 5

3. НОЛЬ ГЛАЗАМИ УЧЕНИКОВ. 7

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 10

Математика является одной из важнейших наук в жизни человека. Именно с ней мы встречаемся каждый день. Она развивает смекалку, интеллект, учит сравнивать, анализировать, принимать верные решения. Это одна из главных школьных наук. [6]

На одном из уроков математики я узнала, что цифра – это ничего, по-другому – пустое место. Вот смешное стихотворение С. Маршака «Веселый счет» о нуле:[1]

Цифра вроде буквы О – это ноль иль ничего.

Круглый ноль такой хорошенький,

Но не значит ничегошеньки.

Могу назвать его мячом

А хочешь, дыркой назовем,

А может бубликом, почти что кругленьким,

Но как его не назовем,

Он называется . нулем

В этом коротком стишке звучит проблема нехорошего отношения к цифре 0. Справедливо ли такое отношение к нулю? Действительно ли бесполезна и незначительна скромная цифра 0? Отвечая на эти вопросы, мы ставим целью исследования.

Итак, цель работы: исследование роли и значения цифры ноль в математике.

Для достижения этой цели мы должны решить следующие задачи:

узнать, как появилась цифра 0 и что она означает;

собрать интересные факты о ней;

провести собственное исследование об отношении к цифре 0 у одноклассников;

сделать на основе проведенной работы выводы и заинтересовать одноклассников математикой.

Объект исследования – цифра 0.

1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ЦИФРЫ 0. РОЛЬ НУЛЯ В МАТЕМАТИКЕ.

Начнем с истории появления цифры. Когда же появился ноль? Родиной нуля как цифры считают Индию. Сначала ее обозначали как точку, а потом уже как кружок, меньший чем другие цифры. До открытия нуля древние римляне пользовались римскими цифрами, где не было нуля.[3]

Сначала на арабском языке ноль звучал как «сифр», что похоже по звуку на слово «цифра». А как слово «нуль» начали употреблять в Германии. В древней России знак 0 называют «ничем», «низачто».

Любопытно, что племя майя обозначали нулем и бесконечность. Счёт дней месяца в календаре майя начинался с нулевого дня. Раньше цифра 0 писалась с черточкой внутри знака, чтобы отличать ее от буквы О. Вот цифры племени майа.

Если мы посмотрим на изображение цифр, то увидим, что 0 — цифра без единого угла в начертании; 1 — содержит один угол; 2 — содержит два угла; 3 — содержит три угла. [5]

Нуль стал основой современной математики. Хотя мы начинаем считать с единицы, математики и программисты считают с нуля.

Если вы прибавите или отнимите от любого числа нуль, число не изменится.

Цифра 0 означает ничего, когда она стоит отдельно от других чисел. Но без него нельзя написать десятки, сотни, тысячи. Если вы уберете скромный нолик от числа 10, и оно станет в десять раз меньше. Уберите всего лишь два ничего не значащих скромных нолика от сотни, и она превратится всего лишь в единицу. А вот какую бы цифру от нуля не убирали, слева или справа – ноль всегда остается самим собой!

Итак, несмотря на его ничтожное в сравнении с другими цифрами значение, только благодаря ему, создаются, как самые большие, так и самые маленькие числа.

Вывод, получается, что 0 – важная цифра!

2. ИНТЕРЕСНЫЕ ФАКТЫ О ЦИФРЕ 0.

Следующий вопрос, который меня интересовал – какие интересные факты существуют?

Читая книги о цифрах, я узнала, что в центре города Будапешт (Венгрия) находится памятник нулю. Цифра 0 означает начало всех дорог по Венгрии. От этого памятника отменяется расстояние в стране. Нуль – это единственная цифра, которой поставлен памятник.[9]

Читайте также:  Flags browser flags яндекс

Гуляя по Москве можно увидеть бронзовый знак нулевого километра автодорог России.

Каждый день около памятника находится множество людей, которые хотят не только посмотреть, но и загадать желание. Нужно встать на нулевой километр, спиной к Воскресенским воротам, загадать желание и бросить монету через плечо.[4]

Только цифра 0 пишется точно так же, как одна из букв – а именно, как буква О. Ноль без этой палочки был то ли цифрой, то ли буквой. Поэтому и стали иногда говорить «ноль без палочки».

Жест рукой, изображающий цифру 0, в англоговорящих странах имеет значение «все в порядке», «все нормально», «все отлично».

Не существует нулевого года. Так, например, 2 г. до н.э., 1 г. до н.э., потом сразу 1 г. н.э., 2 г. н.э.

В культуре племени Майя ноль существовал вполне реальный – в виде пустой раковины. В календаре Майя месяц начинался не с первого, а с нулевого дня «Ахау». Ноль понимался не как «дырка от бублика», а как знак бесконечности, «начало» и «первопричина».[8]

Самое большое число – центильон. Он содержит после единицы 600 нулей.

Ноль — это единственная цифра, которая не может быть представлена римскими цифрами.

3. НОЛЬ ГЛАЗАМИ УЧЕНИКОВ.

Следующая часть исследования – опрос одноклассников о цифре 0.

Мы разработали анкету – опрос:

1. Знаете ли вы цифру 0:

2. На какую букву похожа цифра 0?

3. Как вы располагаете цифры?

4. Знаете ли вы, что есть памятник нулю?

5. Какое получится число если мы справа от цифры 1 напишем цифру 0?

6. Сколько углов содержит цифра 0?

7. Какое число получим?

8. Есть ли страница с номером 0 в учебниках?

9. Есть ли нулевой этаж в вашем доме?

10. Для вас цифра 0 важная или нет?

Ответы на вопросы отражены в таблице. В опросе принимало участие 22 ученика.

1. Знаете ли вы цифру 0:

2. На какую букву похожа цифра 0?

3. Как вы располагаете цифры?

4. Знаете ли вы, что есть памятник нулю?

5. Какое получится число если мы справа от цифры 1 напишем цифру 0?

Цифра 10 – 22 чел.

6. Сколько углов содержит цифра 0?

Ни одного – 20 чел.

2 чел — несколько

7. Какое число получим?

Ответ 5 – 22 чел.

8. Есть ли страница с номером 0 в учебниках?

9. Есть ли нулевой этаж в вашем доме?

10. Для вас цифра 0 важная или нет?

Вот фотографии, где рассказывается о цифре 0 и проводится опрос.

Исследование показало следующее:

цифру 0 знают все одноклассники и все находят ее похожей на букву О;

все правильно складывают и вычитают цифру 0;

все понимают, что без цифры 0 не получится цифры 10;

большая часть учеников счет ведут с цифры 1;

только 7 из 22 учеников знают, что есть памятник нулю;

20 учеников правильно ответили, что у цифры 0 нет углов;

4 ученика из 22 думают, что есть страницы в книге с номером 0;

19 учеников из 22 знают, что нет нулевого этажа;

Для 13 учеников из 22 цифра 0 – важная цифра, для остальных 9 человек – нет.

На основе проведенного опроса я поняла, что не все ученики следят за цифрами, которые нас окружают, не все понимают важность значения цифр. После опроса я рассказала одноклассникам о происхождении цифры ноль, о памятнике цифре, другие интересные факты.

Итак, я пришла к выводу, что цифра 0 – это важная цифра. Без нее мы не напишем десятки, сотни, тысячи. Наши современные цифры пришли к нам из Индии через арабские страны, поэтому их и называют арабскими. Происхождение каждой из девяти арабских цифр заключается в идее связать цифру с количеством углов в её написании. Без цифры ноль нельзя записать как самые большие, так и самые маленькие цифры. С цифрой 0 связаны важные правила в математике. Есть даже памятник цифре 0 и в каждой стране есть нулевой километр. Исследование – опрос, проведенный среди одноклассников показал, что с цифрой 0 они знакомы, но не глубоко понимают ее роль и значение в математике.

Я буду изучать и дальше происхождение цифр. Мир чисел очень интересен и загадочен.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Захарова В.В., Серова М.В. Поурочные разработки по математике: 1 класс.-М.: ВАКО, 2014

Калинина, Кац, Тилипман: Математика в твоих руках. 1-4 классы. ФГОС.- М.: ВАКО, 2016.

Кессельман В.С. Удивительная история математики.- М.: ЭНАС-КНИГА, 2013

Математика, которая мне нравится – Образовательный портал — http://hijos.ru/chislovoj-salon-krasoty/chislo-0/

Портал для детей, родителей и учителей — http://www.o-detstve.ru/forchildren/research-project/4714.html

Фельдблюм Б. О самом важном в математике.- Ленинград.: Детская литература, 1969.

Хвостин В. Математика. Как я понял тему. Тематические задания по математике. 1 класс. ФГОС. М.: МТО Инфо, 2016 г.

Холодова О. Юным умникам и умницам: Задания по развитию познавательных способностей (6-7 лет). В 2-х частях ФГОС.- М.: РОСТкнига, 2013 г.

Ссылка на основную публикацию
Что такое адрес сервера на телефоне
Блог о модемах, роутерах и gpon ont терминалах. Частенько пользователи планшетов и смартфонов на Андроид сталкиваются с тем, что подключившись...
Что значит загрузочная флешка
Что такое загрузочная флешка / 8 способов создать загрузочную флешку Что такое загрузочная флешка / 8 способов создать загрузочную флешку...
Что значит заблокировать сообщение в телефоне
Текстовые сообщения очень удобны – ведь с их помощью вы можете получить информацию от другого абонента даже в тот момент,...
Что такое аккумулятор слайдер
Кроме достоинств, у литий-ионных аккумуляторов имеется немало минусов: Не выносят перезаряда. Подача тока на элемент питания должна быть прекращена, когда...
Adblock detector