Что не меняется от перемены мест слагаемых

Что не меняется от перемены мест слагаемых

Еще недавно, учась сложению чисел, мы складывали кучки из монет. Тогда перед нами стояла задачи сложить две кучки. Но допустим, мы хотим теперь сложить не две, а несколько кучек. Это можно было бы сделать так: сгребаем их все сразу в одну большую кучу и пересчитываем в ней все монеты. Такой способ сложения всем бы был хорош, да только ни на счетах, ни на бумаге нельзя сделать ничего подобного. На счетах и бумаге мы умеем складывать между собой только два числа. Поэтому мы не будем сгребать вместе сразу все кучки, а поступим так, чтобы все наши действия можно было легко перенести на бумагу.

Итак, перед нами несколько кучек из монет. Мы знаем, сколько монет в каждой кучке, и теперь мы хотим узнать, сколько же у нас всего монет во всех кучках. Мы берем любые две кучки и сдвигаем их вместе, образуя одну новую кучку побольше. Умея складывать два числа на бумаге, мы сможем легко вычислить, сколько у нас монет в новой кучке без фактического их пересчета. Теперь у нас стало на одну кучку меньше. Далее, берем еще две кучки, сливаем их воедино, вычисляем новое число монет в только что образованной кучке и, таким образом, снова уменьшаем количество кучек на одну. Мы повторяем и повторяем эту процедуру, уменьшая всякий раз число кучек на единицу, до тех пор пока у нас не останется одна-единственная большая куча. Число монет в этой куче нам известно, причем вычислили мы его на бумаге, а не прямым пересчетом.

Очевидно, мы получим один и тот же ответ, совершенно независимо от того, в каком порядке мы сдвигали кучки. А значит, когда перед нами находится сумма чисел, например,

мы можем вычислять ее тоже в любом порядке. Поэтому мы всегда будем выбирать такой порядок, какой для нас наиболее удобен. В данном случае удобно вначале сложить восьмерку и двойку, а потом добавить девятку:

8 + 2 + 9 = 10 + 9 = 19.

Но математический язык — это язык строгих правил. Спрашивается: на основании какого правила мы можем произвольно менять порядок вычислений при нахождении суммы нескольких слагаемым? Мы знаем, например, свойство коммутативности (которое, на школьном языке, называется также перестановочным свойством сложения):

Можем ли мы, опираясь на это свойство, написать

8 + 9 + 2 = 8 + 2 + 9,

то есть просто переставить местами девятку и двойку, подобно тому, как мы меняем местами переменные a и b? Оказывается, нет, не можем. Вспомним, что, собственно, означает запись

Это, как мы раньше договорились, всего лишь упрощенный вариант более подробной записи

Коммутативность сложения означает, что мы можем переставлять местами два непосредственно складываемых друг с другом числа. То есть, мы можем написать так:

(8 + 9) + 2 = (9 + 8) + 2,

(8 + 9) + 2 = 2 + (8 + 9),

(8 + 9) + 2 = 2 + (8 + 9) = 2 + (9 + 8),

однако при этом никак нельзя сделать так, чтобы восьмерка вначале складывалась с двойкой, а потом прибавлялась девятка. Коммутативность означает, что мы можем с одинаковым результатом либо кучку a придвинуть к кучке b, либо наоборот, кучку b придвинуть к кучке a, но коммутативность не позволяет произвольно выбирать пары кучек для слияния.

Как же быть? Мы должны вспомнить еще об одном свойстве сложения, а именно об ассоциативности (на школьном языке оно называется сочетательным свойством сложения):

Читайте также:  Что то типа авито

Это свойство действительно позволяет менять порядок объединения кучек. Впрочем, далеко не произвольно. Мы теперь можем написать так:

(8 + 9) + 2 = 8 + (9 + 2).

Если раньше мы должны были сперва обязательно складывать восьмерку и девятку, то теперь можем начать с того, чтобы сложить девятку и двойку. Но это же вовсе не то, к чему мы стремимся!

На самом деле, тут нужно воспользоваться обоими свойствами сразу. С помощью ассоциативности мы пришли к выражению

(8 + 9) + 2 = 8 + (9 + 2).

Теперь воспользуемся коммутативностью и поменяем местами девятку и двойку:

8 + (9 + 2) = 8 + (2 + 9).

Далее, снова воспользуемся ассоциативностью:

8 + (2 + 9) = (8 + 2) + 9.

И наконец, перепишем конечное выражение в упрощенном виде:

(8 + 2) + 9 = 8 + 2 + 9.

После многих усилий мы получили результат, который и без того с самого начала был очевиден. Зачем же это было нужно? А если нам понадобится посчитать более длинное выражение, например,

нам тоже надо будет действовать по правилам? Разве мы не сможем сразу переписать его в удобном виде:

Вопросы резонные и в них следует хорошенько разобраться.

Начнем с того, что так уж устроена математика: ученые-математики вначале вводят хорошо продуманные правила, а потом неукоснительно им следуют. Другое дело, что нам с вами (пока еще не ученым), для того чтобы хорошо решать математические задачи, все эти правила знать необязательно. Я бы и не рассказывал вам ничего про коммутативность и ассоциативность, да только в школьных учебниках эти свойства (правда, под другим названием) выписаны жирным шрифтом и обведены в рамочку. При этом, однако, толком не объясняется, зачем они нужны и как их применять. Поэтому они моментально улетучиваются из памяти, что, в свою очередь, приводит к неприятностям на устных опросах и контрольных работах.

Так вот: нужны эти свойства для того, чтобы мы на законных основаниях могли по своему усмотрению менять порядок вычислений при нахождении суммы большого числа слагаемых. Разумеется, мы не будем всякий раз подробно расписывать шаг за шагом порядок применения этих свойств. Мы просто будем иметь в виду, что

Любое изменения порядка суммирования может быть, в принципе, получено на основании свойств коммутативности и ассоциативности.

Ни проверять, ни доказывать это общее утверждение мы сейчас не станем, а примем его, что называется, на веру. Вообще-то, настоящие ученые-математики ничего на веру не принимают, но мы с вами пока что еще не совсем настоящие ученые.

Теперь нам осталось уточнить еще один важный момент. Мы знаем, что складывать можно не только натуральные числа, но и целые, которые бывают и отрицательными. Спрашивается: если в сумме присутствуют отрицательные числа, то можно ли и в этом случае произвольно менять порядок суммирования?

Рассуждения с кучками монет нам теперь не помогут, потому что очень трудно представить себе кучку с отрицательным количеством монет. Но мы поступим на этот раз по-научному. Достаточно лишь убедиться, что свойства коммутативности и ассоциативности сохраняются и в случае произвольных целых чисел. И тогда из нашего общего утверждения (принятого на веру) со всей определенностью будет следовать, что порядок суммирования никак не влияет на значение суммы, даже если среди слагаемых есть отрицательные числа. Напомню, кстати, что любую разность можно переписать в виде суммы, например:

Читайте также:  Комп не видит домашнюю сеть

5 − 3 = 5 + (−3),
5 − (4 − 1) = 5 + (−4) + 1.

2.6.1. Вычислить наиболее удобным способом:

24 + 15 + 6
9 + 43 + 11
12 + 16 + 8 + 4
35 + 33 + 15 + 7
и т.п.

2.6.2. Вычислить наиболее удобным способом:

63 + 29 − 3
38 + 14 − 8
25 − 17 − 15 + 37
190 − 3 − 90 + 13
−23 + 69 + 33 − 9
и т.п.

2.6.3. Дана пара выражений. Вычислить значение того из них, для которого это сделать проще.

a) 87 − (5 + 7)
b) 87 − (5 − 7)

a) 58 + (6 − 2)
b) 58 + (2 − 6)

2.6.4. Упростить выражение с переменной.

10 + x + 23
−13 − (x − 2) + 43
x − 4 + 15 − 6 − (x + 1)
и т.п.

От перемены мест слагаемых сумма не меняется?!

От перемены мест слагаемых сумма не меняется. Кто не знает этой азбуч6ой истины, вдолбленной в наши головы ещё в начальных классах? Ой, ли? Так уж и не меняется? Но любое утверждение должно быть доказано, по крайней мере именно так нам говорили учителя по математике, так они нас учили. Так вот, попробую ка я доказать вам, что это не так! Итак, напишем уравнение:
А+В=С (1)
И ещё одно:
В+А=С (2)

Ошибки нет? Конечно же, нет – всё очень даже правильно! А теперь напишем ещё два уравнения, это:

ВЛАДИМИР+ПЕТРОВИЧ+РУБЦОВ=ЭТО-Я (3)
И это:

Обратите внимание, уважаемые, на уравнение, написанное первым (3) – в нём всё правильно: Владимир Петрович Рубцов – это именно я. Я именно так и подпишу данную статью. И это будет правильно, я даже не побоюсь сказать так: «Архиправильно!». А теперь обратите внимание на следующее уравнение (4). Обратили? Так вот, что мне скажут читатели, если я именно так подпишу свою статью – «Владимир Рубцов Петрович»? Мне почти каждый, даже самый что ни на есть, последний двоечник от математики скажет, что я ошибся в написании. А что же я, собственно, такого сделал? Я, взял и, просто-напросто, поменял местами слагаемые, … и всё сразу так изменилось! Это равносильно, как телегу поставить впереди лошади, и даже не впереди, а … посередине. Да и само выражение «Поставить телегу впереди лошади», тоже является доказательством того, что от перемены мест «слагаемых», «сумма», всё же меняется – ездить на таком транспорте неудобно становится! Так что же, всё же, изменилось в нашей сумме? Качество изменилось, друзья мои, качество! А это значит, что вышеназванное утверждение «От перемены мест слагаемых сумма не меняется» надо уточнить и записать в следующей редакции: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется, но меняется её качество»! Так то.

Владимир Петрович Рубцов. 24.02.2009г. UN7BV. Астана. Казахстан.

Пословица гласит: сумма не изменяется. Сумма по определению – это итог сложения. Речь идет о количественном сложении. Качество это нечто иное. О нем в пословице речь не идет. Качество это свойства тех количеств, о которых идет речь! Так, что уважаемый,
открытие у тебя интересное, но не в тему. Надо внимательно читать условия задачи.

Уважаемый, если в пословице не уточнено, что о качестве речь не идёт, значит . идёт! И ещё: если одно качество сложить с другим качеством, то получится уже нечно другое . универсальное (два плюс два уже может не равняться четырём)! Так что в тему, в тему, уважаемый . и читать надо именно внимательней! Вот в этом я с Вами, пожалуй, соглашусь полностью и . ещё раз: УВАЖАЕМЫЙ. Рубцов В.П.

Читайте также:  Катапультирование из самолета последствия

Портал Проза.ру предоставляет авторам возможность свободной публикации своих литературных произведений в сети Интернет на основании пользовательского договора. Все авторские права на произведения принадлежат авторам и охраняются законом. Перепечатка произведений возможна только с согласия его автора, к которому вы можете обратиться на его авторской странице. Ответственность за тексты произведений авторы несут самостоятельно на основании правил публикации и законодательства Российской Федерации. Вы также можете посмотреть более подробную информацию о портале и связаться с администрацией.

Ежедневная аудитория портала Проза.ру – порядка 100 тысяч посетителей, которые в общей сумме просматривают более полумиллиона страниц по данным счетчика посещаемости, который расположен справа от этого текста. В каждой графе указано по две цифры: количество просмотров и количество посетителей.

© Все права принадлежат авторам, 2000-2020. Портал работает под эгидой Российского союза писателей. 18+

От перемены мест слагаемых сумма не меняется?!

От перемены мест слагаемых сумма не меняется. Кто не знает этой азбуч6ой истины, вдолбленной в наши головы ещё в начальных классах? Ой, ли? Так уж и не меняется? Но любое утверждение должно быть доказано, по крайней мере именно так нам говорили учителя по математике, так они нас учили. Так вот, попробую ка я доказать вам, что это не так! Итак, напишем уравнение:

А+В=С (1)

В+А=С (2)

Ошибки нет? Конечно же, нет – всё очень даже правильно! А теперь напишем ещё два уравнения, это:

ВЛАДИМИР+ПЕТРОВИЧ+РУБЦОВ=ЭТО-Я (3)

ВЛАДИМИР+РУБЦОВ+ПЕТРОВИЧ=ЭТО-Я (4)

Обратите внимание, уважаемые, на уравнение, написанное первым (3) – в нём всё правильно: Владимир Петрович Рубцов – это именно я. Я именно так и подпишу данную статью. И это будет правильно, я даже не побоюсь сказать так: «Архиправильно!». А теперь обратите внимание на следующее уравнение (4). Обратили? Так вот, что мне скажут читатели, если я именно так подпишу свою статью – «Владимир Рубцов Петрович»? Мне почти каждый, даже самый что ни на есть, последний двоечник от математики скажет, что я ошибся в написании. А что же я, собственно, такого сделал? Я, взял и, просто-напросто, поменял местами слагаемые, … и всё сразу так изменилось! Это равносильно, как телегу поставить впереди лошади, и даже не впереди, а … посередине. Да и само выражение «Поставить телегу впереди лошади», тоже является доказательством того, что от перемены мест «слагаемых», «сумма», всё же меняется – ездить на таком транспорте неудобно становится! Так что же, всё же, изменилось в нашей сумме? Качество изменилось, друзья мои, качество! А это значит, что вышеназванное утверждение «От перемены мест слагаемых сумма не меняется» надо уточнить и записать в следующей редакции: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется, но меняется её качество»! Так то.

Владимир Петрович Рубцов. 24.02.2009г. UN7BV. Астана. Казахстан.

Ссылка на основную публикацию
Что значит загрузочная флешка
Что такое загрузочная флешка / 8 способов создать загрузочную флешку Что такое загрузочная флешка / 8 способов создать загрузочную флешку...
Чему равна сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ VI § l48. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии До сих пор, говоря о суммах, мы всегда предполагали, что...
Чем стереть автомобильную краску
Автомобили настолько плотно вошли в нашу жизнь, что большинство людей не представляет свою жизнь без персонального транспортного средства. Машина —...
Что значит заблокировать сообщение в телефоне
Текстовые сообщения очень удобны – ведь с их помощью вы можете получить информацию от другого абонента даже в тот момент,...
Adblock detector