Чему равна сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Чему равна сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ VI

§ l48. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

До сих пор, говоря о суммах, мы всегда предполагали, что число слагаемых в этих суммах конечно (например, 2, 15, 1000 и т. д.). Но при решении некоторых задач (особенно высшей математики) приходится сталкиваться и с суммами бесконечного числа слагаемых

Что же представляют из себя такие суммы? По определению суммой бесконечного числа слагаемых a1, a2, . an, . называется предел суммы Sn первых п чисел, когда п—> :

S = Sn = (a1 + a2 + . + an). (2)

Предел (2), конечно, может существовать, а может и не существовать. Соответственно этому говорят, что сумма (1) существует или не существует.

Как же выяснить, существует ли сумма (1) в каждом конкретном случае? Общее решение этого вопроса выходит далеко за пределы нашей программы. Однако существует один важный частный случай, который нам предстоит сейчас рассмотреть. Речь будет идти о суммировании членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Итак, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна первому члену этой прогрести, деленному на единицу минус знаменатель этой прогрессии.

1) Сумма геометрической прогрессии 1, 1 /3 , 1 /9 , 1 /27 , . равна

а сумма геометрической прогрессии 12; —6; 3; — 3 /2, . равна

2) Простую периодическую дробь 0,454545 . обратить в обыкновенную.

Для решения этой задачи представим данную дробь в виде бесконечной суммы:

Правая часть этого равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первый член которой равен 45 /100, а знаменатель 1 /100. Поэтому

Описанным способом может быть получено и общее правило обращения простых периодических дробей в обыкновенные (см. гл. II, § 38):

Для обращения простой периодической дроби в обыкновенную нужно поступить следующим образом: в числителе поставить период десятичной дроби, а в знаменателе — число, состоящее из девяток, взятых столько раз, сколько знаков в периоде десятичной дроби.

Читайте также:  Новая версия вк на компьютер 2018

3) Смешанную периодическую дробь 0,58333 . обратить в обыкновенную.

Представим данную дробь в виде бесконечной суммы:

В правой части этого равенства все слагаемые, начиная с 3 /1000, образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен 3 /1000, а знаменатель 1 /10. Поэтому

Описанным способом может быть получено и общее правило обращения смешанных периодических дробей в обыкновенные (см. гл. II, § 38). Мы сознательно не приводим его здесь. Запоминать это громоздкое правило нет необходимости. Гораздо полезнее знать, что любую смешанную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и некоторого числа. А формулу

для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии нужно, конечно, помнить.

В качестве упражнения предлагаем вам, помимо приведенных ниже задач № 995—1000, еще раз обратиться к задаче № 301 § 38 .

995. Что называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии?

996. Найти суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий:

997. При каких значениях х прогрессия

является бесконечно убывающей? Найти сумму такой прогрессии.

998. В равносторонний треугольник со стороной а вписан посредством соединения середин его сторон новый треугольник; в этот треугольник тем же способом вписан новый треугольник и так далее до бесконечности.

а) сумму периметров всех этих треугольников;

б) сумму их площадей.

999. В квадрат со стороной а вписан путем соединения середин его сторон новый квадрат; в этот квадрат таким же образом вписан квадрат и так далее до бесконечности. Найти сумму периметров всех этих квадратов и сумму их площадей.

1000. Составить бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, такую, чтобы сумма ее равнялась 25 /4, а сумма квадратов ее членов равнялась 625 /24.

Геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел b1, b2, b3. (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q (знаменатель прогрессии), где b1≠0 , q≠0.

Читайте также:  Как сделать стартовую страницу яндекс в макстон

где q знаменатель геометрической прогрессии (шаг),

n-й член геометрической прогрессии bn определяется по формуле:

Если b1 > 0 и q > 1, прогрессия является возрастающей последовательностью,

если 0 1

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

Если знаменатель геометрической прогрессии q

Численная последовательность ( B=left<1>, b_<2>, dots, b_, dots
ight> ) , каждый член которой равен предыдущей, умноженной на постоянное число ( q ) для этой последовательности, называется геометрической прогрессией. Число q называется знаменателем прогрессии.

Если знаменатель ( |q| ПРИМЕР 1

Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии ( 1, frac<1><3>, frac<1><9>, dots )

Эта последовательность чисел будет бесконечно уменьшающейся прогрессией, поскольку

Представить число ( 0 ) в виде обычной фракции, ( (6) )

Написание числа как ( 0,(6) ) означает периодическую долю ( 0.6666 dots ), которая может быть представлена в виде следующей суммы:

Эта сумма представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом ( b_<1>=0,6 ) и знаменателем ( mathrm=mathrm_ <.1>). Найдите эту сумму по формуле

Ссылка на основную публикацию
Хорошие дешевые жесткие диски
Лучший жесткий диск далек от SSD в плане скорости передачи данных, однако есть причина, по которой данные устройства все еще...
Формат записи видео mov
MOV против MP4 Существует много форматов файлов, которые можно использовать для хранения ваших видео в зависимости от ваших потребностей. MOV...
Формат ммгг как писать
Сбербанк Онлайн позволяет проводить различные платежи прямо из дома с любого устройства, имеющего доступ в Интернет. Это существенно экономит время...
Хорошие ноутбуки за 20000 для игр
Если вам необходим хороший ноутбук для работы, то вам придется потратится как минимум 20 тысяч рублей. За эти деньги вы...
Adblock detector